Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 22 Свойства характеристического многочлена 253
22.3.
∗
Собственная сумма и блочная структура для л.э.
Рассмотрим теперь прямую сумму W
0
= ⊕
s
i=1
W
i
всех собственных
подпространств для л.э. ϕ, т. е. собственную сумму S(ϕ). Это под-
пространство имеет размерность равную сумме n
0
всех геометри-
ческих кратностей, является ϕ-инвариантным, и на нем эндомор-
физм ϕ является диагонализируемым. Если выбрать какое-либо
прямое дополнение W
00
к W
0
, а также базис
B = [ B
0
, B
00
] = [ B
1
, B
2
, ... , B
s
, B
00
], (22.14)
приспособленный к прямой сумме
V =
Ã
s
M
i=1
W
i
!
⊕ W
00
, (22.15)
то ϕ будет сопоставленна матрица блочно-треугольного вида (21.20),
причем юго-восточный (n
00
×n
00
)-блок G
00
будет соответствовать л.э.
ϕ
00
= π
00
◦ ϕ
¯
¯
W
00
∈ L(W
00
), (22.16)
где π
00
есть оператор проектирования на прямое слагаемое W
00
.
Используя предложение 22.1 и формулу (22.12), мы получаем сле-
дующее разложение характеристического для ϕ многочлена на мно-
жители:
h
ϕ
(λ) = (λ − λ
1
)
n
1
(λ − λ
2
)
n
2
... (λ − λ
s
)
n
s
q(λ), (22.17)
где
q(λ) = h
ϕ
00
(λ) (22.18)
является многочленом степени n − n
0
.
В отличие от разложения (17.31), в котором двучлены λ−λ
i
фигу-
рируют в степенях m
i
и последний множитель g(λ) (степени n −m
0
)
не имеет корней в P, в разложении (22.17) многочлен q(λ) может
иметь корни (те из λ
i
, для которых m
i
> n
i
). Корням q(λ) соответ-
ствуют собственные векторы для ϕ
00
, но они не будут собственными
для ϕ (все векторы, собственные для ϕ, собраны в W
0
).
В случае диагонализируемости ϕ (на всем пространстве V ) под-
пространство W
00
тривиализуется (становится нулевым), геометри-
ческие кратности оказываются равными алгебраическим:
n
i
= m
i
(i = 1, ... , s). (22.19)
§ 22       Свойства характеристического многочлена                      253

  22.3.∗ Собственная сумма и блочная структура для л.э.
Рассмотрим теперь прямую сумму W 0 = ⊕si=1 Wi всех собственных
подпространств для л.э. ϕ, т. е. собственную сумму S(ϕ). Это под-
пространство имеет размерность равную сумме n0 всех геометри-
ческих кратностей, является ϕ-инвариантным, и на нем эндомор-
физм ϕ является диагонализируемым. Если выбрать какое-либо
прямое дополнение W 00 к W 0 , а также базис

                  B = [ B0 , B 00 ] = [ B1 , B2 , ... , Bs , B00 ],   (22.14)

приспособленный к прямой сумме
                         Ã s   !
                           M
                     V =     Wi ⊕ W 00 ,                              (22.15)
                                    i=1

то ϕ будет сопоставленна матрица блочно-треугольного вида (21.20),
причем юго-восточный (n00 × n00 )-блок G00 будет соответствовать л.э.
                                   ¯
                     ϕ00 = π 00 ◦ ϕ¯W 00 ∈ L(W 00 ),          (22.16)

где π 00 есть оператор проектирования на прямое слагаемое W 00 .
   Используя предложение 22.1 и формулу (22.12), мы получаем сле-
дующее разложение характеристического для ϕ многочлена на мно-
жители:

        hϕ (λ) = (λ − λ1 )n1 (λ − λ2 )n2 ... (λ − λs )ns q(λ),        (22.17)

где
                                q(λ) = hϕ00 (λ)                       (22.18)
является многочленом степени n − n0 .
   В отличие от разложения (17.31), в котором двучлены λ−λi фигу-
рируют в степенях mi и последний множитель g(λ) (степени n − m0 )
не имеет корней в P, в разложении (22.17) многочлен q(λ) может
иметь корни (те из λi , для которых mi > ni ). Корням q(λ) соответ-
ствуют собственные векторы для ϕ00 , но они не будут собственными
для ϕ (все векторы, собственные для ϕ, собраны в W 0 ).
   В случае диагонализируемости ϕ (на всем пространстве V ) под-
пространство W 00 тривиализуется (становится нулевым), геометри-
ческие кратности оказываются равными алгебраическим:

                           ni = mi (i = 1, ... , s).                  (22.19)

Страницы