Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 251 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 22 Свойства характеристического многочлена 251
Итак, мы приходим к следующему выражению для характеристи-
ческого многочлена:
h
ϕ
(λ) = det(C(λ)) = det(λE
n
1
− A
0
1
) · det(λE
n
2
− A
22
),
или
h
ϕ
(λ) = h
ϕ
0
1
(λ) · h
ϕ
22
(λ). (22.3)
Отсюда немедленно вытекает следующее
Предложение 22.1. 1. Если л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет нетривиальное
инвариантное подпространство W
1
6 V, то характеристический мно-
гочлен для сужения ϕ
0
1
= ϕ
¯
¯
W
1
делит характеристический многочлен
для ϕ:
h
ϕ
0
1
(λ) |h
ϕ
(λ). (22.4)
2. Если пространство V разбито в прямую сумму ϕ-инвариантных
подпространств W
i
(i = 1, ..., s), то характеристический многочлен
для ϕ разлагается в произведение характеристических многочленов
для соответствующих сужений :
h
ϕ
(λ) = h
ϕ
0
1
(λ) · h
ϕ
0
2
(λ) · ... · h
ϕ
0
s
(λ), (22.5)
где ϕ
0
i
= ϕ
¯
¯
W
i
.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует
из разложения (22.3). Второе (при s = 2) также получается из этой
формулы, если (в случае инвариантности W
2
) представить л.э. ϕ
22
как сужение ϕ
0
2
:
h
ϕ
(λ) = h
ϕ
0
1
(λ) · h
ϕ
0
2
(λ). (22.3
0
)
В общем случае (при произвольном s) доказательство (22.5) про-
водится по индукции. ¤
22.2. Неравенства для геометрических и алгебраических
кратностей собственных значений. Рассмотрим спектр
σ(ϕ) = {λ
1
, λ
2
, ... , λ
s
} (22.6)
линейного эндоморфизма ϕ, действующего в n-мерном линейном
пространстве V (предполагая, естественно, что он не пуст, — ина-
че спектральная теория не применима).
§ 22        Свойства характеристического многочлена                 251

  Итак, мы приходим к следующему выражению для характеристи-
ческого многочлена:

       hϕ (λ) = det(C(λ)) = det(λEn1 − A01 ) · det(λEn2 − A22 ),

или
                         hϕ (λ) = hϕ01 (λ) · hϕ22 (λ).             (22.3)
   Отсюда немедленно вытекает следующее
  Предложение 22.1. 1. Если л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет нетривиальное
инвариантное подпространство
                         ¯     W1 6 V, то характеристический мно-
                    0    ¯
гочлен для сужения ϕ1 = ϕ W делит характеристический многочлен
                           1
для ϕ:
                         hϕ01 (λ) | hϕ (λ).                 (22.4)
  2. Если пространство V разбито в прямую сумму ϕ-инвариантных
подпространств Wi (i = 1, ..., s), то характеристический многочлен
для ϕ разлагается в произведение характеристических многочленов
для соответствующих сужений :

                  hϕ (λ) = hϕ01 (λ) · hϕ02 (λ) · ... · hϕ0s (λ),   (22.5)
           ¯
где ϕ0i = ϕ¯W .
             i

   Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует
из разложения (22.3). Второе (при s = 2) также получается из этой
формулы, если (в случае инвариантности W2 ) представить л.э. ϕ22
как сужение ϕ02 :
                      hϕ (λ) = hϕ01 (λ) · hϕ02 (λ).        (22.30 )
  В общем случае (при произвольном s) доказательство (22.5) про-
водится по индукции. ¤

  22.2. Неравенства для геометрических и алгебраических
кратностей собственных значений. Рассмотрим спектр

                          σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs }             (22.6)

линейного эндоморфизма ϕ, действующего в n-мерном линейном
пространстве V (предполагая, естественно, что он не пуст, — ина-
че спектральная теория не применима).

Страницы