Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 255 стр.

§ 23         Итерированные ядра и образы. Стабилизация                  255

  Вспоминая (см. определение 14.2), что размерность ядра линей-
ного оператора называется его дефектом, а размерность образа —
рангом, мы даем следующее
   Определение 23.2. Размерности итерированных ядер (соответ-
ственно образов), т. е. неотрицательные целые числа

                 d(k) = dfc(ϕk ) = dim(N (k) ); k = 0, 1, 2, ... ,     (23.4)

                r(k) = rank(ϕk ) = dim(M (k) ); k = 0, 1, 2, ... ,     (23.5)
называются итерированными дефектами (соответственно итериро-
ванными рангами) для л.э. ϕ.
  В следующем предложении собраны простейшие свойства итери-
рованных ядер, образов, дефектов и рангов.
  Предложение 23.1. 1. Последовательность итерированных ядер
для линейного эндоморфизма ϕ, действующего в n-мерном линейном
пространстве V, является неубывающей последовательностью линей-
ных подпространств:

       O = N (0) 6 N (1) 6 N (2) 6 ... 6 N (k) 6 N (k+1) 6 ... 6 V.    (23.7)

  2. Последовательность итерированных дефектов является неубы-
вающей последовательностью неотрицательных целых чисел:

         0 = d(0) 6 d(1) 6 d(2) 6 ... 6 d(k) 6 d(k+1) 6 ... 6 n.       (23.8)

  3. Последовательность итерированных образов является невоз-
растающей последовательностью линейных подпространств:

   V = M (0) > M (1) > M (2) > ... > M (k) > M (k+1) > ... > O.        (23.9)

  4. Последовательность итерированных рангов является невозрас-
тающей последовательностью неотрицательных целых чисел:

         n = r(0) > r(1) > r(2) > ... > r(k) > r(k+1) > ... > 0.      (23.10)

   5. Для всякого целого k > 0 справедливо соотношение:

                                d(k) + r(k) = n.                      (23.11)