Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 257 стр.

§ 23         Итерированные ядра и образы. Стабилизация                    257

существование такого неотрицательного целого числа l 6 n (которое
получит название показатель стабилизации для л.э. ϕ), что
  — при 0 6 k 6 l все четыре последовательности строго монотон-
ны (первые две строго возрастают, две другие — строго убывают);
  — при k > l они стабилизируются, т. е. в каждой из последова-
тельностей все члены, начиная с l-го, равны между собой.
  Точнее, имеет место следующая

   Теорема 23.1. Пусть ϕ ∈ L(V ); dim(V ) = n. Существует неотри-
цательное целое число l 6 n, такое, что последовательности (23.7) —
(23.10) имеют вид:

       O = N (0) < N (1) < N (2) < ... < N (l) = N (l+1) = ... 6 V ;    (23.70 )

          0 = d(0) < d(1) < d(2) < ... < d(l) = d(l+1) = ... 6 n;       (23.80 )
   V = M (0) > M (1) > M (2) > ... > M (l) = M (l+1) = ... > O;         (23.90 )
         n = r(0) > r(1) > r(2) > ... > r(l) = r(l+1) = ... > 0.       (23.100 )


   Доказательство. Прежде чем начинать рассуждение, поясним,
что в последовательностях (23.80 ) и (23.100 ) знаки < и > имеют обыч-
ный смысл строгих числовых неравенств, а в последовательностях
(23.70 ) и (23.90 ) эти же знаки выражают отношения строгого вклю-
чения между линейными подпространствами.
   Далее, особым является случай, когда л.э. ϕ является обратимым.
Тогда обратимы и все его итерации ϕk (k > 0). Согласно критериям
обратимости л.э. из п. 14.3 (см. сводную таблицу), это равносильно
   — тривиальности всех итерированных ядер N (k) = O;
   — обращению в нуль всех итерированных дефектов d(k) = 0;
   — факту совпадения всех итерированных образов с полным про-
странством: M (k) = V ;
   — факту совпадения всех итерированных рангов с размерностью
пространства: r(k) = n.
   Выходит, что в особом случае стабилизация наступает с самого
начала, при l = 0.
   Далее считаем, что л.э. ϕ необратим и, следовательно, ядро

                              N (1) = Ker(ϕ) 6= O,
или, что равносильно, d(1) > 0.