Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 259 стр.

§ 23     Итерированные ядра и образы. Стабилизация            259

ванных ядер, дефектов, образов, рангов, называется показателем
стабилизации для л.э. ϕ.
  Стабильными ядром, дефектом, образом, рангом называются со-
ответственно N (l) , d(l) , M (l) , r(l) .
   Установим важную особенность взаимного расположения стабиль-
ного ядра и стабильного образа как линейных подпространств дан-
ного пространства V . Нулевое ядро тривиально, а нулевой образ
совпадает со всем V. С ростом номера k ядро N (k) расширяется, а
образ M (k) сужается. Оказывается, что в момент стабилизации они
становятся взаимно дополнительными.
  Предложение 23.2. 1. Стабильное ядро N (l) и стабильный об-
раз M (l) линейного эндоморфизма ϕ ∈ L(V ) являются взаимно до-
полнительными ϕ-инвариантными подпространствами, т. е.

                          V = N (l) ⊕ M (l) .               (23.14)

  2. Сужение ϕ на второе прямое слагаемое в (23.14) является об-
ратимым л.э.
   Доказательство. 1. Согласно предложению 23.1, свойством ϕ-ин-
вариантности обладают все итерированные ядра и образы, в том
числе и стабильные. Докажем независимость подпространств N (l)
и M (l) (т. е. тривиальность их пересечения).
   Возьмем любой элемент x ∈ N (l) ∩ M (l) . С одной стороны, этот
элемент должен удовлетворять условию ϕl (x) = 0, а, с другой сто-
роны, — допускать представление в виде x = ϕl (u) для некоторого
u ∈ V. Для элемента u получается равенство:

                  ϕ2l (u) = ϕl (ϕl (u)) = ϕl (x) = 0.

  Следовательно, u ∈ N (2l) . Но N (2l) = N (l) (поскольку 2l > l).
Поэтому u ∈ N (l) , т. е. ϕl (u) = 0. Вывод: x = 0. Тривиальность
пересечения доказана.
  Из независимости рассматриваемых подпространств и из того, что
сумма их размерностей равна n, следует (см. предложение 9.2) ра-
венство (23.14).
  2. Первое ядро N (1) = Ker(ϕ) содержится в стабильном ядре, сле-
довательно (только что доказанная) независимость стабильного об-
раза со стабильным ядром влечет его независимость с ядром Ker(ϕ).