Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 260 стр.

260    Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3
                                           ¯
  Согласно предложению 15.1, сужение ϕ¯M (l) является мономор-
физмом. В силу инвариантности M (l) , это сужение есть л.э. Следо-
вательно, его мономорфность влечет (см. п. 15.4) его обратимость. ¤
   Замечание 23.1. Вспомним введенное в п. 20.2 понятие фильтра-
ции в линейном пространстве и заметим, что итерированные ядра
(с номерами k 6 l) образуют фильтрацию в стабильном ядре. Эта
фильтрация является ϕ-инвариантной. Подчеркнем, однако, что (в
отличие от п. 20.2) происходит она не из какой-либо (ранее введен-
ной) прямой суммы. Имеется, однако, возможность, выбирая в каж-
дом N (k) (k = 1, ..., l) какое-либо прямое дополнение C (k) к более
узкому ядру N (k−1) , такую прямую сумму восстановить:

                 N (k) = N (k−1) ⊕ C (k) ; k = 1, ... , l;   (23.15)

                                          l
                                          M
                                (l)
                            N         =         C (k) .      (23.16)
                                          k=1


 23.4. Теорема о стабилизации в случае нильпотентного л.э.
Понятия нильпотентного л.э. и нильпотентной квадратной матрицы
уже возникали у нас "мимоходом", в примере 13.4 и п. 13.8 (см.
также пример 21.1). Сейчас мы приступаем к их систематическому
изучению.
   Определение 23.4. Л.э. ϕ ∈ L(V ) называется нильпотентным,
если существует натуральная степень k этого эндоморфизма, равная
нулевому оператору: ϕk = o. Наименьшее из таких чисел, т. е.

                      l = min{k ∈ N : ϕk = o},               (23.17)

называется показателем нильпотентности для л.э. ϕ.
   Очевидно, что единственным нильпотентным оператором с пока-
зателем нильпотентности l = 1 является нулевой оператор.
   Всякий нильпотентный л.э. необратим (в противном случае не
только он, но и все его степени были бы обратимыми эндоморфиз-
мами). Из этого следует, в частности, нетривиальность ядра для
нильпотентного л.э.
   В примере 13.4 (см. также пример 23.1 ниже) показано, что опе-
ратор дифференцирования ϕ = 0 на (n + 1)-мерном пространстве
многочленов V = Rn [x] нильпотентен с показателем l = n + 1.