Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

262 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
Замечание 23.2. Очевидно также и обратное утверждение: если
стабильное ядро совпадает со всем пространством, то данный л.э.
нильпотентен (на всем пространстве).
Замечание 23.3. Из предложения 23.4 вытекает оценка показате-
ля нильпотентности l для нильпотентного л.э. ϕ ∈ L(V ):
l 6 n = dim(V ).
В самом деле, это неравенство, в силу теоремы 23.1, справедливо
для показателя стабилизации.
Пример 23.1 (продолжение примера 19.2). Следующая последо-
вательность вложенных друг в друга линейных пространств много-
членов
O < R = R
0
[x] < R
1
[x] < R
2
[x] < ... < R
n
[x] = V (23.19)
[ср. с (19.3)] является не чем иным, как фильтрацией (23.18) итери-
рованных ядер для оператора дифференцирования ϕ =
0
.
Теперь поговорим о нильпотентности квадратных матриц. Опре-
деление нильпотентной матрицы является "матричной калькой" опе-
раторного определения 23.4.
Определение 23.4
0
. Матрица A
n×n
называется нильпотентной,
с показателем l, если A
l
= O, а для k = 1, ... , l − 1 матрица A
k
6= O.
Из общей теоремы 12.1 (о соответствии между линейными опера-
торами и матрицами) вытекает, что л.э. ϕ ∈ L(V ) является нильпо-
тентным тогда и только тогда, когда нильпотентна его матрица A
(в произвольном базисе пространства V ).
Пример 23.2. Рассмотрим л.э. n-мерного пространства V , кото-
рому в некотором базисе B = [b
1
, b
2
, ... , b
n
] пространства V соответ-
ствует матрица, имеющая вид н.ж.я. (см. пример 13.4):
A = J
n
(0) =
0 1 0 0 ... 0 0
0 0 1 0 ... 0 0
0 0 0 1 ... 0 0
0 0 0 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 1 0
0 0 0 0 ... 0 1
0 0 0 0 ... 0 0
. (23.20)
262     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                Гл. 3

   Замечание 23.2. Очевидно также и обратное утверждение: если
стабильное ядро совпадает со всем пространством, то данный л.э.
нильпотентен (на всем пространстве).
  Замечание 23.3. Из предложения 23.4 вытекает оценка показате-
ля нильпотентности l для нильпотентного л.э. ϕ ∈ L(V ):

                             l 6 n = dim(V ).

  В самом деле, это неравенство, в силу теоремы 23.1, справедливо
для показателя стабилизации.
  Пример 23.1 (продолжение примера 19.2). Следующая последо-
вательность вложенных друг в друга линейных пространств много-
членов

       O < R = R0 [x] < R1 [x] < R2 [x] < ... < Rn [x] = V       (23.19)

[ср. с (19.3)] является не чем иным, как фильтрацией (23.18) итери-
рованных ядер для оператора дифференцирования ϕ = 0 .
  Теперь поговорим о нильпотентности квадратных матриц. Опре-
деление нильпотентной матрицы является "матричной калькой" опе-
раторного определения 23.4.
  Определение 23.40 . Матрица A называется нильпотентной,
                                      n×n
с показателем l, если A = O, а для k = 1, ... , l − 1 матрица Ak 6= O.
                         l

   Из общей теоремы 12.1 (о соответствии между линейными опера-
торами и матрицами) вытекает, что л.э. ϕ ∈ L(V ) является нильпо-
тентным тогда и только тогда, когда нильпотентна его матрица A
(в произвольном базисе пространства V ).
   Пример 23.2. Рассмотрим л.э. n-мерного пространства V , кото-
рому в некотором базисе B = [b1 , b2 , ... , bn ] пространства V соответ-
ствует матрица, имеющая вид н.ж.я. (см. пример 13.4):
                                                       
                        0 1 0 0 ... 0 0
                      0 0 1 0 ... 0 0 
                                                       
                      0 0 0 1 ... 0 0 
                                                       
                      0 0 0 0 ... 0 0 
        A = Jn (0) =                                   .        (23.20)
                      ... ... ... ... ... ... ... 
                                                       
                      0 0 0 0 ... 1 0 
                                                       
                        0 0 0 0 ... 0 1
                        0 0 0 0 ... 0 0

Страницы