Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 263 стр.

§ 24          Приращения дефектов. Теорема Фробениуса                     263

   На векторы базиса B этот л.э. действует следующим образом:
                           ϕ          ϕ        ϕ      ϕ       ϕ
                       bn 7→ bn−1 7→ .... 7→ b2 7→ b1 7→ 0.             (23.21)

   Отсюда ясно, что оператор ϕ нильпотентен с показателем l = n и
его итерированные ядра имеют вид:

                      N (k) = hb1 , b2 , ... , bk i ; k = 1, ... , n.   (23.22)

  Между прочим, предыдущий пример 23.1 (путем использования
базиса B = [ 1, x, x2 /2!, ... , xn /n! ]) сводится к данному, с единствен-
ным отличием: н.ж.я. будет иметь порядок n + 1.



       § 24. Приращения итерированных дефектов.
                     Теорема Фробениуса.
                 Вторые приращения дефектов
   24.1. Приращения итерированных дефектов. Рассмотрим
л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном пространстве V. Пусть l —
его показатель стабилизации и

        0 = d(0) < d(1) < d(2) < ... < d(l−1) < d(l) = d(l+1) = ...      (24.1)

— последовательность итерированных дефектов.
  Введем последовательность приращений

                        p(k) = d(k) − d(k−1) ; k = 1, 2, ...             (24.2)

итерированных дефектов.
  Заметим, что
  — p(1) = d(1) ;
  — при k = 1, ... , l приращения положительны: p(k) > 0;
  — при k > l, по причине стабилизации итерированных дефектов,
приращения становятся нулевыми.
   24.2. Теорема Фробениуса. По своему смыслу приращения
(24.2) являются размерностями (произвольных) прямых дополне-
ний C (k) к предыдущему ядру в последующем [см. (23.15)]:

           N (1) = C (1) ; N (k) = N (k−1) ⊕ C (k) ; k = 2, ... , l;     (24.3)