Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 265 стр.

§ 24       Приращения дефектов. Теорема Фробениуса                 265

  Если произвольным образом выбрать прямое дополнение C (l) к
предстабильному ядру N (l−1) в стабильном ядре N (l) , то
  5) выбор всех прямых дополнений C (k) с меньшими номерами
можно осуществить так, чтобы для любого k = 2, ..., l выполнялось
включение (24.7);
  6) для любого k = 2, ..., l справедливо неравенство

                             p(k) 6 p(k−1) ,                      (24.8)

т. е. последовательность {p(k) }lk=1 приращений итерированных де-
фектов является невозрастающей.
   Доказательство. 1. Тот факт, что ϕ(N (k) ) 6 N (k−1) , установлен
в предложении 23.1; благодаря ему сужение л.э. ϕ на N (k) можно
рассматривать как гомоморфизм (24.5).
   Линейное подпространство C (k) 6 N (k) является прямым допол-
нением к подпространству N (k−1) 6 N (k) , которое, в силу предло-
жения 23.1 (и предположения k > 2), содержит первое из итериро-
ванных ядер N (1) = Ker(ϕ). Следовательно, подпространства C (k) и
N (1) независимы (имеют нулевое пересечение).
   Согласно предложению 15.1, сужение (24.5) на C (k) , т. ¯е., как ска-
зано в формулировке теоремы, "дальнейшее сужение" ϕ¯C (k) , явля-
ется линейным изоморфизмом на свой образ, который, в данном слу-
чае, есть не что иное, как ϕ(C (k) ).
   2. Наличие изоморфизма ϕ(C (k) ) ∼    = C (k) влечет равенство раз-
мерностей (24.6).
   3. Докажем независимость подпространств N (k−2) и ϕ(C (k) ), т. е.
тривиальность их пересечения.
   Пусть x ∈ ϕ(C (k) ) ∩ N (k−2) . С одной стороны, это означает, что x
представляется в виде x = ϕ(u), где u ∈ C (k) , а с другой — что для
этого вектора справедливо равенство ϕk−2 (x) = 0. Объединяя два
указанных факта, получаем: ϕk−1 (u) = ϕk−2 (ϕ(u)) = ϕk−2 (x) = 0.
   Значит, вектор u принадлежит ядру N (k−1) и, следовательно, —
пересечению N (k−1) ∩ C (k) , которое является нулевым (в силу опре-
деления прямого дополнения).
   Получаем, что u = 0 и, следовательно, x = 0.
   4. Независимость двух линейных подпространств в конечномер-
ном линейном пространстве влечет, в силу предложения 9.4, суще-
ствование такого прямого дополнения к одному (любому) из этих
подпространств, которое содержит другое подпространство. Так что