Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 267 стр.

§ 25                   Малая теорема Жордана                     267

   В последующих "рабочих вычислениях" нам удобнее будет поль-
зоваться вторыми приращениями, взятыми с обратным знаком и со
сдвигом нумерации на единицу. Эти величины вводятся в следую-
щем определении.
  Определение 24.2. Абсолютными вторыми приращениями ите-
рированных дефектов будем называть числа

                    q (k) = p(k) − p(k+1) ; k = 1, ... , l,    (24.10)

где p(k) определяются формулами (24.2).
   Напомним, что (по причине наступившей стабилизации) имеет ме-
сто равенство p(l+1) = 0. Следовательно, q (l) = p(l) .
   В следующем предложении проясняется смысл абсолютных вто-
рых приращений дефектов.
  Предложение 24.1. Пусть подпространства C (k) выбраны в со-
ответствии с пятым утверждением теоремы Фробениуса. Тогда абсо-
лютные вторые приращения дефектов q (k) имеют следующий смысл:

                          q (l) = p(l) = dim(C (l) )          (24.11a)

и (для любого k = 1, ... , l − 1)

                            q (k) = dim(D(k) ),               (24.11b)

где D(k) является прямым дополнением к образу ϕ(C (k+1) ) в C (k) .
  Доказательство совершенно очевидно: достаточно подсчитать
размерность второго прямого слагаемого в сумме

                       C (k) = ϕ(C (k+1) ) ⊕ D(k) . ¤          (24.12)

  Замечание 24.2. В качестве информации (которая в дальнейшем
будет подтверждена вычислительными примерами) укажем на то,
что любое из чисел q (k) (k = 1, ... , l − 1) может оказаться равным
нулю. Это свидетельствует о наличии равенства ϕ(C (k+1) ) = C (k) и,
следовательно, о тривиальности дополнения: D(k) = O. Число q (l) ,
по построению, всегда положительно.