Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 268 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

268 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
§
§
§ 25. Жорданов базис в стабильном ядре
линейного эндоморфизма.
Малая теорема Жордана
25.1. Понятие жорданова базиса для л.э. Напомним (см. при-
мер 21.1), как выглядят матрицы, именуемые жордановыми ящика-
ми (ж.я.):
J
n
(λ
0
) =
λ
0
1 0 0 ... 0 0
0 λ
0
1 0 ... 0 0
0 0 λ
0
1 ... 0 0
0 0 0 λ
0
... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... λ
0
1
0 0 0 0 ... 0 λ
0
. (25.1)
Предполагается, что матрица (25.1) имеет размер n×n. Не исклю-
чается случай n = 1, т. е. допускаются одноэлементные ж.я. вида
J
1
(λ
0
) = (λ
0
) . (25.1a)
При n > 2 матрицу (25.1) можно представить в виде суммы ска-
лярной матрицы и нильпотентного жорданова ящика (н.ж.я.):
J
n
(λ
0
) = λ
0
E
n
+ J
n
(0) . (25.2)
Согласно упомянутому примеру, такие матрицы являются недиа-
гонализируемыми.
Определение 25.1. Жордановым базисом для л.э. ϕ ∈ L(V ) на-
зывается такой базис в пространстве V, в котором этому эндомор-
физму отвечает блочно-диагональная матрица с жордановыми ящи-
ками (возможно, различных размеров и с различными диагональ-
ными элементами) в качестве блоков.
Если W является (нетривиальным) ϕ-инвариантным линейным
подпространством в пространстве V, то под жордановым базисом
для ϕ в подпространстве W понимается жорданов базис для л.э.
ϕ
0
= ϕ
¯
¯
W
∈ L(W ).
Замечание 25.1. Диагонализирующий базис (см. определения 21.1
и 21.1
0
) является частным случаем жорданова базиса, характеризу-
ющимся тем, что все ж.я. являются одноэлементными.
268    Спектральная теория линейных эндоморфизмов          Гл. 3

      § 25. Жорданов базис в стабильном ядре
               линейного эндоморфизма.
               Малая теорема Жордана
  25.1. Понятие жорданова базиса для л.э. Напомним (см. при-
мер 21.1), как выглядят матрицы, именуемые жордановыми ящика-
ми (ж.я.):
                                                     
                          λ0 1     0   0 ... 0     0
                         0 λ0 1       0 ... 0     0 
                                                     
                         0    0 λ0 1 ... 0        0 
                                                     
             Jn (λ0 ) =  0    0   0 λ0 ... 0      0 . (25.1)
                                                     
                         ... ... ... ... ... ... ... 
                                                     
                           0   0   0   0 ... λ0 1
                           0   0   0   0 ... 0 λ0
  Предполагается, что матрица (25.1) имеет размер n×n. Не исклю-
чается случай n = 1, т. е. допускаются одноэлементные ж.я. вида

                         J1 (λ0 ) = (λ0 ) .               (25.1a)

  При n > 2 матрицу (25.1) можно представить в виде суммы ска-
лярной матрицы и нильпотентного жорданова ящика (н.ж.я.):

                    Jn (λ0 ) = λ0 En + Jn (0) .            (25.2)

  Согласно упомянутому примеру, такие матрицы являются недиа-
гонализируемыми.
   Определение 25.1. Жордановым базисом для л.э. ϕ ∈ L(V ) на-
зывается такой базис в пространстве V, в котором этому эндомор-
физму отвечает блочно-диагональная матрица с жордановыми ящи-
ками (возможно, различных размеров и с различными диагональ-
ными элементами) в качестве блоков.
   Если W является (нетривиальным) ϕ-инвариантным линейным
подпространством в пространстве V, то под жордановым базисом
для ϕ ¯в подпространстве W понимается жорданов базис для л.э.
ϕ0 = ϕ¯W ∈ L(W ).
   Замечание 25.1. Диагонализирующий базис (см. определения 21.1
и 21.10 ) является частным случаем жорданова базиса, характеризу-
ющимся тем, что все ж.я. являются одноэлементными.

Страницы