Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 269 стр.

§ 25                      Малая теорема Жордана                             269

   25.2. Базисы в стабильном ядре л.э., организованные в ви-
де столбчатых диаграмм. Рассмотрим эндоморфизм ϕ ∈ L(V ),
действующий в n-мерном линейном пространстве V и не являющий-
ся обратимым. В этом случае его ядро N (1) = Ker(ϕ) является
ненулевым (и оказывается к тому же не чем иным, как собственным
подпространством S0 (ϕ); см. пример 16.2). Пусть l — показатель
стабилизации, а N (l) — стабильное ядро для оператора ϕ.
   Как установлено в п. 23.3 [см. формулу (23.16)], стабильное ядро
разбивается в прямую сумму

       N (l) = C (1) ⊕ C (2) ⊕ C (3) ⊕ ... ⊕ C (l−2) ⊕ C (l−1) ⊕ C (l) ,   (25.3)

где C (1) = N (1) , а C (k) является (произвольным) прямым дополне-
нием к итерированному ядру N (k−1) в следующем итерированном
ядре N (k) (k = 2, ... , l).
   Равенство линейных подпространств (25.3) влечет равенство со-
ответствующих размерностей:

         d(l) = p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(l−2) + p(l−1) + p(l) ,        (25.4)

где d(l) есть стабильный дефект для ϕ, а числа p(k) (k = 1, ... , l) яв-
ляются приращениями итерированных дефектов [см. (24.2)], в част-
ности, p(1) совпадает с первым дефектом d(1) .
   Согласно теореме 24.1, выбор прямых дополнений, образующих
сумму (24.3), можно осуществить таким образом, чтобы под дей-
ствием ϕ дополнение C (k) отображалось в предыдущее дополнение
C (k−1) (k = l, ..., 2; в порядке убывания номеров). При этом важно,
что имеют место изоморфизмы ϕ(C (k) ) ∼    = C (k) .
   Определение 25.2. Будем называть столбчатой диаграммой в
стабильном ядре N (l) систему

                              G0 = [g1 , g2 , ... , gd(l) ] ,              (25.5)

состоящую из d(l) векторов, организованных в особую таблицу D0
(представленную на диагр. 25.1 в прил. 3), в которой
   1) векторы изображаются точками в ячейках и размещаются в l
строках; строки нумеруются снизу вверх и выравниваются по левому
краю; количество точек-векторов в k-й строке (k = 1, ..., l) равно p(k)
[эти числа не возрастают в силу неравенства Фробениуса];
   2) векторы, расположенные в k-й строке, составляют базис в под-
пространстве C (k) ;