Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 271 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 25 Малая теорема Жордана 271
до первого дефекта d
(1)
(равного длине первой строки). Эта длина
складывается, очевидно, из длин всех имеющихся ступенек:
d
(1)
= q
(1)
+ q
(2)
+ q
(3)
+ ... + q
(l−2)
+ q
(l−1)
+ q
(l)
. (25.6)
Высоту j-го столбца обозначим k
j
; она совпадает с (отсчитыва-
емым справа налево) номером зоны, в которую попадает данный
столбец.
Если же рассматривать, как мы только что условились, нумера-
цию столбцов в противоположном направлении, то получится:
k
j
=
l, если 1 6 j 6 q
(l)
;
l − 1, если q
(l)
+ 1 6 j 6 q
(l)
+ q
(l−1)
;
........ .............................................................
2, если q
(l)
+ ... + q
(3)
+ 1 6 j 6 q
(l)
+ ... + q
(2)
;
1, если q
(l)
+ ... + q
(2)
+ 1 6 j 6 d
(1)
.
(25.7)
Теперь в j-м столбце номер нижнего вектора может быть вычис-
лен как k
1
+...+k
j−1
+1, а номер верхнего вектора — как k
1
+...+k
j
.
Напомним, что изначально содержание столбчатой диаграммы опи-
сывалось построчно, в соответствии с прямой суммой (25.3). Здесь
же мы перегруппируем базисные векторы по столбцам: j-я группа
будет иметь вид
Y
j
=
£
g
k
1
+...+k
j−1
+1
, ... , g
k
1
+...+k
j
¤
(25.8)
и будет порождать k
j
-мерное линейное подпространство
Z
j
= hY
j
i 6 N
(l)
; j = 1, ..., d
(1)
, (25.9)
которое мы назовем циклическим.
Согласно предложению 9.2, получается другое разбиение стабиль-
ного ядра в прямую сумму:
N
(l)
= Z
1
⊕ Z
2
⊕ ... ⊕ Z
d
(l)
. (25.10)
Прямой сумме (25.10) соответствует разбиение базиса (25.5) в объ-
единение базисов вида (25.8):
G
0
= [Y
1
, Y
2
, ... , Y
d
(1)
] . (25.11)
§ 25                     Малая теорема Жордана                                       271

до первого дефекта d(1) (равного длине первой строки). Эта длина
складывается, очевидно, из длин всех имеющихся ступенек:

       d(1) = q (1) + q (2) + q (3) + ... + q (l−2) + q (l−1) + q (l) .             (25.6)

   Высоту j-го столбца обозначим kj ; она совпадает с (отсчитыва-
емым справа налево) номером зоны, в которую попадает данный
столбец.
   Если же рассматривать, как мы только что условились, нумера-
цию столбцов в противоположном направлении, то получится:
     
      l,          если 1 6 j 6 q (l) ;
     
     
                  если q (l) + 1 6 j 6 q (l) + q (l−1) ;
      l − 1,
     
 kj = ........     .............................................................    (25.7)
     
     
     
      2,          если q (l) + ... + q (3) + 1 6 j 6 q (l) + ... + q (2) ;
     
     
       1,          если q (l) + ... + q (2) + 1 6 j 6 d(1) .

  Теперь в j-м столбце номер нижнего вектора может быть вычис-
лен как k1 + ... + kj−1 + 1, а номер верхнего вектора — как k1 + ... + kj .
Напомним, что изначально содержание столбчатой диаграммы опи-
сывалось построчно, в соответствии с прямой суммой (25.3). Здесь
же мы перегруппируем базисные векторы по столбцам: j-я группа
будет иметь вид
                          £                                     ¤
                      Yj = gk1 +...+kj−1 +1 , ... , gk1 +...+kj                     (25.8)

и будет порождать kj -мерное линейное подпространство

                      Zj = hYj i 6 N (l) ; j = 1, ..., d(1) ,                       (25.9)

которое мы назовем циклическим.
  Согласно предложению 9.2, получается другое разбиение стабиль-
ного ядра в прямую сумму:

                         N (l) = Z1 ⊕ Z2 ⊕ ... ⊕ Zd(l) .                           (25.10)

  Прямой сумме (25.10) соответствует разбиение базиса (25.5) в объ-
единение базисов вида (25.8):

                             G0 = [Y1 , Y2 , ... , Yd(1) ] .                       (25.11)

Страницы