Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 273 стр.

§ 25                  Малая теорема Жордана                         273

Базис в ϕ(C (l) ) может быть продолжен до (содержащего p(l−1) векто-
ров) базиса в C (l−1) . При этом придется добавить q (l−1) = p(l−1) −p(l)
векторов. (Если указанное число равно нулю, то ничего добавлять
не нужно, — следует переход к очередному "шагу вниз".)
   Вспоминая обозначения из предложения 24.1, заметим, что доба-
вочные векторы будут составлять базис в некотором прямом допол-
нении D(l−1) к подпространству ϕ(C (l) ) в подпространстве C (l−1) .
   Точно так же мы рассуждаем, находясь на любом из этажей с
номером k > 2. Переходя к этажу с номером k − 1, мы
   — либо сразу получаем базис в C (k−1) как образ базиса в C (k)
(если q (k−1) = 0);
   — либо (если q (k−1) > 0) должны будем добавить к указанному
образу еще q (k−1) векторов, составляющих базис в некотором пря-
мом дополнении D(k−1) к подпространству ϕ(C (k) ) в подпростран-
стве C (k−1) .
   Некоторую особенность доставляет последний шаг (со второго
этажа на первый), но мы о ней уже говорили в пятом пункте до-
казательства теоремы Фробениуса (и еще раз поговорим при рас-
смотрении алгоритма построения столбчатой диаграммы; см. ниже
п. 25.4).
   В итоге мы получим базис в U , приспособленный к прямому раз-
ложению (25.3) и организованный в столбчатую диаграмму.
   2. С помощью перегруппировки базисных векторов, описанной
в п. 25.2, перейдем к прямому разложению (25.10) подпростран-
ства U в сумму ϕ-инвариантных циклических подпространств Zj
(j = 1, ... , d(1) ) и рассмотрим перенумерованный в согласии с новым
разложением базис (25.11).                                            ¯
   В силу предложения 20.4, в этом базисе эндоморфизму ϕ0 = ϕ¯U
будет отвечать блочно-диагональная матрица, имеющая d(1) диаго-
нальных блоков, соответствующих сужениям
                               ¯
                        ϕ0j = ϕ¯Z ∈ L(Zj ); j = 1, ... , d(1) .  (25.13)
                            j


  Эндоморфизм (25.13) переводит каждый вектор из j-го столбца
диагр. 25.1 в вектор, расположенный под ним (самый нижний вектор
переходит в нуль). Значит (см. объяснения в примере 23.2), суже-
нию ϕ0j отвечает в базисе Yj матрица Jkj (0) .
  Таким образом, доказано, что каждому столбцу в столбчатой диа-
грамме 25.1 отвечает в матрице J0 (см. диагр. 25.2 в прил. 3) н.ж.я.,
размер которого совпадает с высотой столбца.