Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 275 стр.

§ 25                  Малая теорема Жордана                         275

   Предложение 25.1. Стабильный дефект d(l) для (необратимо-
го) л.э. ϕ ∈ L(V ) равен алгебраической кратности нулевого собствен-
ного значения (25.15).
  Доказательство. Воспользуемся результатом предложения 23.2.
Наличие прямого разложения (23.14), в котором оба слагаемых —
ϕ-инвариантны, влечет (в силу второго утверждения предложе-
ния 22.1) следующее разложение для hϕ (λ):

                        hϕ (λ) = hϕ0 (λ)hϕ00 (λ),                (25.18)
          ¯               ¯
где ϕ0 = ϕ¯N (l) и ϕ00 = ϕ¯M (l) , причем оператор ϕ00 обратим, и, следо-
вательно, его характеристический многочлен не делится на λ.
   С другой стороны, согласно следствию из МТЖ, характеристи-
ческий многочлен для ϕ0 определяется формулой (25.14). Таким
образом, мы приходим к разложению

                           hϕ (λ) = λm h(λ),                     (25.19)

в котором
                               m = d(l) ,                        (25.20)

а многочлен h(λ) = hϕ00 (λ) (в силу обратимости ϕ00 ) не имеет нуль
своим корнем, т. е. h(0) 6= 0.
   Значит, показатель степени m есть не что иное, как кратность
нулевого характеристического корня (или, равносильно: алгебраи-
ческая кратность нулевого собственного значения). ¤

   25.5. Жорданов базис для нильпотентного л.э. В силу пред-
ложения 23.3, сужение л.э. на любое итерированное (в том числе
и стабильное) ядро является нильпотентным л.э.; показатель ниль-
потентности равен номеру ядра. Так что рассмотренный в МТЖ
л.э. ϕ0 является нильпотентным (с показателем l). Тем же свойством
обладает и его матрица (в любом базисе). В жордановом базисе это
проявляется в том, что нильпотентны все ж.я. матрицы J0 .
   Для нильпотентного во всем пространстве л.э. ϕ ∈ L(V ), показа-
тель стабилизации равен показателю нильпотентности и стабильное
ядро совпадает со всем V (см. предложение 23.4). Следовательно,
справедливо