Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 277 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 25 Малая теорема Жордана 277
базис B, в котором оператору ϕ соответствует (n×n)-матрица A. Бу-
дем искать жорданов базис G
0
в стабильном ядре эндоморфизма ϕ.
Как обычно, для записи и хранения всех выстраиваемых бази-
сов используются матрицы, составленные из координатных столб-
цов вновь определяемых базисных векторов относительно "старого"
базиса B.
1. Составляем характеристический многочлен
h
ϕ
(λ) = h
A
(λ).
Если он не делится на λ, то оператор ϕ обратим; стабильное ядро
тривиально; нечего строить.
Если λ | h
ϕ
(λ), то определяем кратность m нулевого характери-
стического корня.
2. Построение необработанных базисов в итерированных ядрах.
2.1. Находим базис в ядре N
(1)
= Ker(ϕ) = L
0
A
, представленном
как нуль-пространство матрицы A, т. е. находим фундаментальную
матрицу F
(1)
для с.л.у. A ·x = 0. Столбцы этой матрицы составляют
базис в первом ядре; их количество равно первому дефекту d
(1)
.
Если d
(1)
= m, то стабилизация достигнута на первом шаге: l = 1;
первое ядро является стабильным; базис в нем содержится в матри-
це F
(1)
и автоматически является жордановым (еще точнее: диаго-
нализирующим); ничего обрабатывать не надо (столбчатая диаграм-
ма имеет всего одну строку).
2.2. Если d
(1)
< m, то вычисляем матрицу A
2
и повторяем с ней
действия пункта 2.1: находим матрицу F
(2)
, содержащую (необра-
ботанный) базис во втором ядре и вычисляем второй дефект d
(2)
.
Если d
(2)
= m, то — переход к этапу 3; в противном случае —
продолжение: вычисляем A
3
и т. д.
На некотором шаге (с номером l 6 n) будет реализована первая
альтернатива: итерированный дефект d
(l)
сравняется с m и окажет-
ся стабильным (номер l фиксируется как показатель стабилизации);
матрица F
(l)
будет содержать (необработанный) базис в стабильном
ядре N
(l)
.
По завершению данного этапа мы получаем последовательность
матриц (всё возрастающего размера):
F
(1)
n×d
(1)
; F
(2)
n×d
(2)
; F
(3)
n×d
(3)
; ... ; F
(l−2)
n×d
(l−2)
; F
(l−1)
n×d
(l−1)
; F
(l)
n×d
(l)
. (25.22)
Предостережение. Не следует ожидать, что матрица с меньшим
номером окажется подматрицей в матрице с б´ольшим номером. (Это
§ 25                     Малая теорема Жордана                          277

базис B, в котором оператору ϕ соответствует (n×n)-матрица A. Бу-
дем искать жорданов базис G0 в стабильном ядре эндоморфизма ϕ.
   Как обычно, для записи и хранения всех выстраиваемых бази-
сов используются матрицы, составленные из координатных столб-
цов вновь определяемых базисных векторов относительно "старого"
базиса B.
   1. Составляем характеристический многочлен

                                  hϕ (λ) = hA (λ).

   Если он не делится на λ, то оператор ϕ обратим; стабильное ядро
тривиально; нечего строить.
   Если λ | hϕ (λ), то определяем кратность m нулевого характери-
стического корня.
   2. Построение необработанных базисов в итерированных ядрах.
   2.1. Находим базис в ядре N (1) = Ker(ϕ) = L0A , представленном
как нуль-пространство матрицы A, т. е. находим фундаментальную
матрицу F (1) для с.л.у. A · x = 0. Столбцы этой матрицы составляют
базис в первом ядре; их количество равно первому дефекту d(1) .
   Если d(1) = m, то стабилизация достигнута на первом шаге: l = 1;
первое ядро является стабильным; базис в нем содержится в матри-
це F (1) и автоматически является жордановым (еще точнее: диаго-
нализирующим); ничего обрабатывать не надо (столбчатая диаграм-
ма имеет всего одну строку).
   2.2. Если d(1) < m, то вычисляем матрицу A2 и повторяем с ней
действия пункта 2.1: находим матрицу F (2) , содержащую (необра-
ботанный) базис во втором ядре и вычисляем второй дефект d(2) .
   Если d(2) = m, то — переход к этапу 3; в противном случае —
продолжение: вычисляем A3 и т. д.
   На некотором шаге (с номером l 6 n) будет реализована первая
альтернатива: итерированный дефект d(l) сравняется с m и окажет-
ся стабильным (номер l фиксируется как показатель стабилизации);
матрица F (l) будет содержать (необработанный) базис в стабильном
ядре N (l) .
   По завершению данного этапа мы получаем последовательность
матриц (всё возрастающего размера):

       F (1) ; F (2) ; F (3) ; ... ; F (l−2) ; F (l−1) ; F (l) .      (25.22)
       n×d(1)   n×d(2)   n×d(3)        n×d(l−2)   n×d(l−1)   n×d(l)

  Предостережение. Не следует ожидать, что матрица с меньшим
номером окажется подматрицей в матрице с бо́льшим номером. (Это

Страницы