Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 276 стр.

276     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                   Гл. 3

   Предложение 25.2. Нильпотентный л.э. ϕ, действующий в
n-мерном линейном пространстве V обладает жордановым базисом
(во всем пространстве V ). Матрица, отвечающая в этом базисе дан-
ному эндоморфизму, является блочно диагональной, с нильпотент-
ными жордановыми ящиками на диагонали. Характеристический
многочлен определяется формулой:

                              hϕ (λ) = λn . ¤                       (25.21)
  Замечание 25.2. Условие (25.21) является не только необходимым,
но и достаточным для нильпотентности л.э. В самом деле, из этого
условия следует, что стабильный дефект равен n и, значит, стабиль-
ное ядро совпадает со всем V.
   25.6. Алгоритм построения жорданова базиса в стабиль-
ном ядре л.э. Доказательство теоремы 25.1 (о существовании жор-
данова базиса в стабильном ядре N (l) ) было по сути алгоритмиче-
ским. Не были конкретизированы лишь выборы прямых дополнений
C (l) , D(l−1) , ... , D(2) , D(1) (и базисов в них). Ясно, что для реализа-
ции указанных выборов потребуется применение алгоритма продол-
жения базисов 10.4. Но для запуска этого алгоритма необходимо,
чтобы "было что продолжать": требуется предварительное постро-
ение каких-либо базисов (мы будем называть их "необработанны-
ми") во всех итерированных ядрах, вплоть до стабильного. Необ-
работанные базисы F (k) в ядрах N (k) (k = 1, ... , l) находятся (см.
п. 14.3) с помощью приспособленной к операторным задачам версии
алгоритма 10.1. В предложении 25.2 обосновано "правило остано-
ва": сигналом к прекращению итераций служит равенство очеред-
ного итерированного дефекта и алгебраической кратности нулево-
го собственного значения. В доказательстве теоремы 25.1 намечена
схема "обработки" необработанных базисов, позволяющая получить
организованный в столбчатую диаграмму базис в N (l) , который и
является искомым. (Корректность этой схемы на каждом шаге ее
применения обеспечиватеся теоремой 24.1.)

А л г о р и т м 25. 1.
Построение жорданова базиса в стабильном ядре
(необратимого) л.э. ϕ ∈ L(V )
и вычисление матрицы, отвечающей в этом базисе
сужению л.э. на стабильное ядро
  В n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) фиксируется