Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 274 стр.

274     Спектральная теория линейных эндоморфизмов           Гл. 3

   В соответствии с определением 25.1, базис (25.11) будет жордано-
вым базисом для ϕ0 .
   3. Третье и четвертое утверждения теоремы установленны попут-
но, при доказательстве второго. ¤


  Следствие. Характеристический многочлен для сужения ϕ0 ли-
нейного эндоморфизма ϕ на его стабильное ядро определяется фор-
мулой:
                         hϕ0 (λ) = λm ,                  (25.14)

где m = d(l) .
  Доказательство. Как известно, hϕ0 (λ) = hA0 (λ) = det(λE − A0 ),
а последний определитель равен λm , поскольку (m × m)-матрица
λE − A0 имеет верхний треугольный вид и ее главная диагональ
сплошь заполнена скалярами λ. ¤


  25.4. Стабильный дефект как алгебраическая кратность
нулевого собственного значения. Рассмотрим л.э. ϕ, действую-
щий в n-мерном линейном пространстве V. Если ϕ обратим, то как
ядро, так и стабильное ядро для него тривиальны.
  В первом же "спектральном" параграфе, в примере 16.2 было от-
мечено, что необходимым и достаточным условием необратимости ϕ
является принадлежность нуля его спектру:

                             0 ∈ σ(ϕ).                      (25.15)

   При этом ядро эндоморфизма является не чем иным, как соб-
ственным подпространством, отвечающим нулевому собственному
значению:
                    N (1) = Ker(ϕ) = S0 (ϕ),          (25.16)
а (первый) дефект — имеет смысл соответствующей геометрической
кратности:
                   d(1) = dfc(ϕ) = dim(S0 (ϕ)).         (25.17)
  Следующее (очень важное для дальнейшего) предложение интер-
претирует "в спектральных терминах" понятие стабильного дефекта
для л.э.