Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 272 стр.

272     Спектральная теория линейных эндоморфизмов             Гл. 3

   Каждое из циклических подпространств Zj является ϕ-инвари-
антным. Это следует из характера действия л.э. ϕ на векторы бази-
са (25.8), которое показано вертикальными стрелками на диаграм-
ме 25.1. Применительно к первому столбцу можно записать:
            ϕ       ϕ       ϕ     ϕ      ϕ     ϕ     ϕ
         gl 7→ gl−1 7→ gl−2 7→ ... 7→ g3 7→ g2 7→ g1 7→ 0.    (25.12)

  В общем виде все выглядит совершенно аналогично, но необхо-
димы сложные (двухэтажные, длинные и содержащие многоточия)
индексы, типа тех, что фигурируют в (25.8).

   25.3. Малая теорема Жордана. В этом пункте мы устано-
вим важнейший факт, являющийся ключом к знаменитой теореме о
существовании жорданова базиса для л.э. Название теоремы не яв-
ляется общепринятым, но придумано автором настоящего пособия
с тем, чтобы обозначить первый этап в доказательстве упомянутой
теоремы. Второй этап (см. § 27) получит название "большой теоре-
мы Жордана".
   Теорема 25.1 (малая теорема Жордана, МТЖ). Пусть ϕ — необ-
ратимый л.э., действующий в n-мерном линейном пространстве V,
с показателем стабилизации l, стабильным ядром U = N (l) и ста-
бильным дефектом m = d(l) . Тогда
   1) в подпространстве U существует базис (25.5), организованный
в столбчатую диаграмму;
   2) этот базис является жордановым;
                            ¯
   3) эндоморфизму ϕ0 = ϕ¯U отвечает в нем блочно-диагональная
(m × m)-матрица J0 с нильпотентными жордановыми ящиками на
диагонали (см. диагр. 25.2 в прил. 3);
   4) общее количество н.ж.я. в матрице J0 равняется первому де-
фекту d(1) = dfc(ϕ); размеры ящиков заключены в пределах от 1 до l,
причем имеется q (k) ящиков размера k × k (где q (k) — абсолютные
вторые приращения итерированных дефектов; k = 1, ... , l).
    Доказательство. 1. Доказательство первого утверждения непо-
средственно усматривается из теоремы Фробениуса 24.1. (Снова про-
слеживайте каждый шаг по диагр. 25.1.)
    Выбрав произвольный базис в подпространстве C (l) (содержащий
q (l) векторов) и применив к нему л.э. ϕ, мы получим базис в обра-
зе ϕ(C (l) ). Это следует из факта мономорфности сужения ϕ на C (l) .
    Полученный образ независим с ядром N (l−2) и может быть вклю-
чен в некоторое прямое дополнение C (l−1) к N (l−2) в ядре N (l−1) .