Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 264 стр.

264     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                Гл. 3



                     dim(C (k) ) = p(k) ; k = 1, ... , l.         (24.4)

  В дальнейшем, однако, нам понадобится выбирать эти прямые
дополнения отнюдь не произвольно. Руководящим принципом будет
следующий:
  — процесс должен начинаться с последнего по номеру прямого
дополнения C (l) ;
  — построив очередное прямое дополнение C (k) (k = l, l−1, ... , 3, 2),
следующее (а по номеру — предыдущее) дополнение C (k−1) мы будем
выбирать так, чтобы оно содержало образ ϕ(C (k) ).
  Обоснованием возможности реализации описанного выше плана
является
   Теорема 24.1 (теорема Фробениуса). Пусть ϕ — л.э., действую-
щий в n-мерном пространстве V , l — показатель стабилизации для ϕ.
Рассмотрим последовательности:
   — итерированных ядер {N (k) }lk=0 ;
   — итерированных дефектов {d(k) }lk=0 ;
   — приращений итерированных дефектов {p(k) }lk=1 .
   Пусть k ∈ {2, ..., l} и выбрано какое-либо прямое дополнение C (k)
в ядре N (k) к предыдущему ядру N (k−1) .
   Сузим л.э. ϕ на N (k) и рассмотрим это сужение как линейный
оператор (гомоморфизм)
                        ¯
                       ϕ¯N (k) : N (k) −→ N (k−1) .               (24.5)

  Тогда
  1) дальнейшее сужение гомоморфизма (24.5) на подпространство
C 6 N (k) является линейным изоморфизмом на образ ϕ(C (k) );
 (k)

  2) размерность этого образа определяется формулой

                          dim(ϕ(C (k) )) = p(k) ;                 (24.6)

   3) N (k−2) и ϕ(C (k) ) являются независимыми подпространствами
в пространстве N (k−1) ;
   4) прямое дополнение C (k−1) к N (k−2) в N (k−1) можно выбрать
так, чтобы выполнялось включение

                            ϕ(C (k) ) 6 C (k−1) .                 (24.7)