Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 261 стр.

§ 23     Итерированные ядра и образы. Стабилизация             261

  В примере 19.1 объяснялось, что всякий л.э., будучи суженным
на свое ядро, становится нулевым (стало быть нильпотентным с по-
казателем 1). Очевидно, если второе итерированное
                                               ¯     ядро N (2) для
оператора ϕ строго шире первого, то сужение ϕ¯N (2) является ниль-
потентным оператором с показателем нильпотентности 2. В самом
деле, этот оператор не является нулевым (иначе второе ядро совпа-
дало бы с первым), и, в то же время, нулевым является его квадрат:
                         ¯              ¯
                       (ϕ¯N (2) )2 = ϕ2 ¯N (2) = o.

   Столь же просто устанавливается следующий более общий факт:
   Предложение 23.3. Рассмотрим ϕ-инвариантную фильтрацию

              O = N (0) < N (1) < N (2) < ... < N (l) 6 V    (23.18)

стабильного ядра N (l) для л.э. ϕ ∈ L(V ).
   Сужение этого эндоморфизма на любое из ядер N (k) (k = 1, ..., l)
нильпотентно с показателем k.
   В частности, сужение на стабильное ядро имеет показатель ниль-
потентности, равный показателю стабилизации. ¤
  Теперь подойдем к проблеме с другой стороны: рассмотрим л.э.,
нильпотентный (с показателем l) на всем пространстве V, и пере-
скажем для него теорему о стабилизации.
  Предложение 23.4. Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном про-
странстве V и является нильпотентным с показателем l. Тогда
  1) показатель стабилизации для ϕ совпадает с показателем ниль-
потентности l;
  2) стабильное ядро совпадает со всем пространством: N (l) = V ;
  3) стабильный дефект равен размерности: d(l) = n;
  4) стабильный образ тривиален: M (l) = O;
  5) стабильный ранг равен нулю: r(l) = 0.
   Доказательство. Достаточно убедиться в справедливости пер-
вых двух утверждений: остальные из них, очевидно, следуют.
   Имеем, по предположению: ϕl = o и ϕl−1 6= o. Следовательно,
N (l) = V и N (l−1) 6= V. Приходим к выводу, что стабилизация итери-
рованных ядер происходит ровно при показателе l, причем в качестве
стабильного ядра достигается все пространство V. ¤