Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 258 стр.

258     Спектральная теория линейных эндоморфизмов                Гл. 3

   Обратимся к (числовой) последовательности (23.8). По предполо-
жению, первое неравенство в ней является строгим. Все неравенства
строгими быть не могут, поскольку дефекты d(k) ограничены свер-
ху размерностью n. Пусть l — номер первого из дефектов, который
совпадает со следующим за ним (другими словами: до номера l де-
фекты строго возрастают, а при k = l наступает первое совпадение:
d(l) = d(l+1) ). Поскольку каждое строгое неравенство дает прираще-
ние дефекта как минимум на единицу, этот номер l не может превы-
шать n.
   В силу свойств размерности (см. предложение 5.6), совпадение
дефектов влечет равенство ядер: N (l) = N (l+1) . Докажем, что это
равенство "продолжится до бесконечности", т. е. и все последующие
ядра N (k) (k > l + 1) будут совпадать с N (l) .
   Действительно, имеет место включение N (l+1) 6 N (l+2) . Чтобы
убедиться в том, что на самом деле оно является равенством, нужно
доказать противоположное включение.
   Возьмем произвольный элемент x ∈ N (l+2) . Имеем: ϕl+2 (x) = 0.
Значит, ϕl+1 (ϕ(x)) = 0 и элемент ϕ(x) принадлежит ядру N (l+1) ,
которое, по предположению, совпадает с N (l) . Но тот факт, что
ϕ(x) ∈ N (l) , влечет равенство ϕl+1 (x) = ϕl (ϕ(x)) = 0 и, следователь-
но, принадлежность x ядру N (l+1) . Требуемое включение доказано.
   Итак, равенство l-го и (l + 1)-го ядер влечет равенство (l + 1)-го и
(l + 2)-го ядер. Очевидно, что и дальше, до бесконечности продол-
жится цепочка из совпадающих ядер.
   То из утверждений теоремы, которое относится к итерированным
ядрам [т. е. (23.70 )], установлено. Утверждение (23.80 ) из него немед-
ленно следует (по свойствам размерности).
   Теперь обратимся к последовательности итерированных рангов.
Ранги связаны с дефектами соотношениями (23.11), поэтому строгое
возрастание дефектов влечет строгое убывание рангов. А когда (при
k = l) дефекты стабилизируются (начнут совпадать), то же самое
произойдет и с рангами. Утверждение (23.100 ) доказано; (23.90 ) из
него следует (опять же, в силу свойств размерности). ¤

   23.3. Стабильное ядро и стабильный образ; их взаимная
дополнительность. Ниже дается определение уже упоминавшего-
ся (в начале предыдущего пункта) показателя стабилизации, а также
других "стабильных характеристик" для л.э.
  Определение 23.2. Натуральное число (номер) l, начиная с ко-
торого наступает (описанная в теореме 23.1) стабилизация итериро-