Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 256 стр.

256     Спектральная теория линейных эндоморфизмов               Гл. 3

  6. Все итерированные ядра и образы являются ϕ-инвариантными
подпространствами. Более точно, имеют место включения:

              ϕ(N (k) ) 6 N (k−1) 6 N (k) (k = 1, 2, 3, ...);   (23.12)

             ϕ(M (k) ) 6 M (k+1) 6 M (k) (k = 0, 1, 2, ...).    (23.13)


  Доказательство. 1. Объясним прежде всего тот факт, что по-
следовательность (23.2) начинается с нулевого подпространства. В
самом деле, ϕ0 = ε и, следовательно, N (0) = Ker(ε) = O.
  Далее, пусть x ∈ N (k) , т. е. ϕk (x) = 0. Тогда

                   ϕk+1 (x) = ϕ(ϕk (x)) = ϕ(0) = 0.

   Значит, x ∈ N (k+1) . Включение N (k) 6 N (k+1) (для любого k > 0)
доказано.
   2. В силу свойств размерности (см. п. 5.5), из включений (23.7)
вытекают неравенства (23.8).
   3. Последовательность (23.3) начинается с наибольшего подпро-
странства M (0) = V, поскольку Im(ϕ0 ) = Im(ε) = V.
   Если x ∈ M (k+1) (k > 0), т. е. x = ϕk+1 (u) для некоторого u ∈ V,
то x = ϕk (ϕ(u)) ∈ M (k) . Включение M (k+1) 6 M (k) доказано.
   4. Неравенства (23.10) для итерированных рангов вытекают из
включений (23.9) для итерированных образов.
   5. Соотношения (23.10) являются проявлением общей "жесткой
связи" между рангом и дефектом для линейного отображения [см.
формулу (14.25); здесь она применяется в частном случае, когда ли-
нейный оператор (гомоморфизм) является эндоморфизмом].
   6.1. Тривиальное подпространство N (0) = O является, как из-
вестно, ϕ-инвариантным. Если же x ∈ N (k) (k > 1), т. е. ϕk (x) = 0,
то ϕ(k−1) (ϕ(x)) = 0 и, следовательно, ϕ(x) ∈ N (k−1) . Этим доказано
включение ϕ(N (k) ) 6 N (k−1) . С учетом (23.7), получаем (23.12).
   6.2. Если x = ϕk (u) ∈ M (k) , то ϕ(x) = ϕk+1 (u) ∈ M (k+1) , что,
вместе с (23.9), приводит к (23.13). ¤

   23.2. Теорема о стабилизации для л.э. В данном пункте будут
установлены более глубокие свойства последовательностей (23.7) —
(23.10), две из которых, первая и третья, являются последователь-
ностями линейных подпространств, а две другие — последователь-
ностями неотрицательных целых чисел. А именно, будет доказано