Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 246 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

246 Спектральная теория линейных эндоморфизмов Гл. 3
где на последенем шаге замечено, что первая строка пропорциональ-
на второй (с коэффициентом пропорциональности −i).
Однородная с.л.у. B
1
· z = 0 сводится к уравнению z
1
− iz
2
= 0,
решая которое мы получаем первый базисный вектор
f
1
=
µ
i
1
.
Действуя совершенно аналогично, для второго собственного зна-
чения λ
2
найдем базисный собственный вектор
f
2
=
µ
−i
1
.
Полезно заметить, что он получился комплексно-сопряженным
первому: f
2
=
f
f
1
.
Таким образом, матрица перехода от исходного (естественного)
базиса в C
2
к диагонализирующему базису определяется формулой
F =
µ
i −i
1 1
.
(Проверьте вычисления, убедившись в справедливости равенства
D = F
−1
AF.)
Пример 21.3. Maple позволяет сразу исследовать на диагона-
лизируемость, как данный л.э., так и его комплексификацию (см.
пример 21.2). Пусть, например, л.э. задан матрицей
A =
4 −5 7
1 −4 9
−4 0 5
.
Применение уже известной нам (см. пример 18.3) команды Eigen-
vectors дает:
> Eigenvectors( A );
2 + 3I
2 − 3I
1
,
3
4
−
3
4
I
3
4
+
3
4
I 1
5
4
−
3
4
I
5
4
+
3
4
I 2
1 1 1
246    Спектральная теория линейных эндоморфизмов           Гл. 3

где на последенем шаге замечено, что первая строка пропорциональ-
на второй (с коэффициентом пропорциональности −i).
   Однородная с.л.у. B1 · z = 0 сводится к уравнению z1 − iz2 = 0,
решая которое мы получаем первый базисный вектор
                                 µ ¶
                                   i
                            f1 =      .
                                   1

  Действуя совершенно аналогично, для второго собственного зна-
чения λ2 найдем базисный собственный вектор
                               µ ¶
                                −i
                          f2 =      .
                                 1

  Полезно заметить, что он получился комплексно-сопряженным
первому: f = ff .
          2    1
  Таким образом, матрица перехода от исходного (естественного)
базиса в C2 к диагонализирующему базису определяется формулой
                             µ      ¶
                               i −i
                         F =          .
                               1 1

  (Проверьте вычисления, убедившись в справедливости равенства
D = F −1 AF.)
  Пример 21.3. Maple позволяет сразу исследовать на диагона-
лизируемость, как данный л.э., так и его комплексификацию (см.
пример 21.2). Пусть, например, л.э. задан матрицей
                                        
                             4 −5 7
                       A =  1 −4 9  .
                             −4 0 5

   Применение уже известной нам (см. пример 18.3) команды Eigen-
vectors дает:
  > Eigenvectors( A );
                             3     3    3 3        
                                 − I    + I   1
                     2 + 3I     4 4     4 4     
                                                
                    2 − 3I  ,  5 3    5 3     
                                 − I     + I   2
                        1       4 4     4 4     
                                  1       1     1

Страницы