Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 243 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 21 Диагонализируемые линейные эндоморфизмы 243
можем считать, что узнали об этом операторе всё. Характер его дей-
ствия полностью определяется его собственными значениями, кото-
рые, как мы помним, фигурируют в качестве диагональных элемен-
тов в диагональной форме его матрицы.
Однако, увы, диагонализирумыми являются не все линейные эн-
доморфизмы.
Пример 21.1. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном (где
n > 1) пространстве V (над произвольным полем P ) и имеющий в
некотором базисе этого пространства матрицу следующего вида:
A
n×n
= J
n
(λ
0
) =
λ
0
1 0 0 ... 0 0
0 λ
0
1 0 ... 0 0
0 0 λ
0
1 ... 0 0
0 0 0 λ
0
... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... λ
0
1
0 0 0 0 ... 0 λ
0
, (21.16)
где λ
0
∈ P.
У нас уже имело место предварительное знакомство с матрицами
такого вида — в примерах 13.4 и 13.5; там же был введен термин
жорданов ящик (ж.я.) и "небанальное" обозначение (с заключением
ящиков в ящики).
Характеристический многочлен для матрицы (21.16) имеет, оче-
видно, следующий вид:
h
A
(λ) = (λ − λ
0
)
n
. (21.17)
Единственным характеристическим корнем (алгебраической кра-
тности m
0
= n) является λ
0
. Найдем геометрическую кратность
n
0
собственного значения λ
0
. Для этого достаточно вычислить ранг
матрицы
B
0
= A − λ
0
E =
0 1 0 0 ... 0 0
0 0 1 0 ... 0 0
0 0 0 1 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 ... 0 1
0 0 0 0 ... 0 0
= J
n
(0) . (21.18)
Он, очевидно, равен n − 1. Значит,
n
0
= n − rank(B
0
) = n − (n − 1) = 1.
§ 21     Диагонализируемые линейные эндоморфизмы                243

можем считать, что узнали об этом операторе всё. Характер его дей-
ствия полностью определяется его собственными значениями, кото-
рые, как мы помним, фигурируют в качестве диагональных элемен-
тов в диагональной форме его матрицы.
   Однако, увы, диагонализирумыми являются не все линейные эн-
доморфизмы.
  Пример 21.1. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном (где
n > 1) пространстве V (над произвольным полем P ) и имеющий в
некотором базисе этого пространства матрицу следующего вида:
                                                  
                        λ0 1    0   0 ... 0     0
                      0 λ0 1       0 ... 0     0 
                                                  
                      0    0 λ0 1 ... 0        0 
                                                  
      A = Jn (λ0 ) =  0    0   0 λ0 ... 0      0 ,     (21.16)
     n×n                                          
                      ... ... ... ... ... ... ... 
                                                  
                        0   0   0   0 ... λ0 1
                        0   0   0   0 ... 0 λ0
где λ0 ∈ P.
   У нас уже имело место предварительное знакомство с матрицами
такого вида — в примерах 13.4 и 13.5; там же был введен термин
жорданов ящик (ж.я.) и "небанальное" обозначение (с заключением
ящиков в ящики).
   Характеристический многочлен для матрицы (21.16) имеет, оче-
видно, следующий вид:

                         hA (λ) = (λ − λ0 )n .                (21.17)
   Единственным характеристическим корнем (алгебраической кра-
тности m0 = n) является λ0 . Найдем геометрическую кратность
n0 собственного значения λ0 . Для этого достаточно вычислить ранг
матрицы
                                                
                      0 1 0 0 ... 0 0
                    0 0 1 0 ... 0 0 
                                                
                    0 0 0 1 ... 0 0 
  B 0 = A − λ0 E =                               = Jn (0) . (21.18)
                    ... ... ... ... ... ... ... 
                                                
                      0 0 0 0 ... 0 1
                      0 0 0 0 ... 0 0
   Он, очевидно, равен n − 1. Значит,
                n0 = n − rank(B0 ) = n − (n − 1) = 1.

Страницы