Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 241 стр.

§ 21      Диагонализируемые линейные эндоморфизмы                 241

  Теорема 21.1. Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном линейном про-
странстве V и пусть его спектр представляет из себя множество

                        σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs },           (21.13)

причем геометрические кратности собственных значений равны (со-
ответственно) n1 , n2 , ... , ns и сумма этих кратностей равна n0 .
  Следующие три утверждения равносильны:
  (1) л.э. ϕ является диагонализируемым;
  (2) в пространстве V существует базис, составленный из собствен-
ных векторов для ϕ;
  (3) сумма геометрических кратностей всех собственных значений
равна размерности данного пространства: n0 = n.
   Доказательство. В пункте 21.1 уже установлено, что утвержде-
ние (1) влечет (2) и (3). Вполне очевидно, что (2) также влечет (1).
(Если все векторы bi , составляющие некоторый базис B простран-
ства V, являются собственными для ϕ, то для любого i = 1, ... , n мы
имеем ϕ(bi ) = λi bi , где λi ∈ P. Значит, оператору ϕ в базисе B отве-
чает диагональная матрица и диагональ ее составляют скаляры λi .)
   Чтобы "замкнуть круг", достаточно доказать, что (3) ⇒ (1). Но
если n0 = n, то собственная сумма W 0 = S(ϕ) совпадает со всем про-
странством V , и диагонализирующий базис, который, в силу пред-
ложения 21.1, существует в W 0 , оказывается для ϕ диагонализиру-
ющим базисом во всем пространстве. ¤

  21.4. Диагонализируемость операторов и диагонализи-
руемость квадратных матриц. Согласно общему факту изомор-
физма между алгебраическими системами линейных операторов и
матриц, кольцо линейных эндоморфизмов L(V ) изоморфно кольцу
квадратных матриц L(n, P ), причем конкретный изоморфизм (ариф-
метизация) фиксируется после выбора какого-либо базиса в про-
странстве V. Если в базисе B оператору ϕ отвечает матрица A, то в
новом базисе B0 (переход к которому от старого базиса B задается
матрицей T ) оператор ϕ будет иметь подобную матрицу

                              A0 = T −1 AT.                     (21.14)

   Квадратную матрицу A естественно назвать диагонализируемой,
если она подобна диагональной матрице. Очевидно следующее