Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 20 Линейные эндоморфизмы в прямой сумме 235
A
n×n
=
A
0
1
n
1
×n
1
O
n
1
×n
2
O
n
2
×n
1
A
0
2
n
2
×n
2
. (20.36)
Итог нашим рассмотрениям подводит следующее
Предложение 20.3. Пусть л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет нетривиальное
инвариантное подпространство W
1
. Тогда в пространстве V можно
выбрать базис так, что матрица A, отвечающая ϕ, примет блочно-
треугольный вид (20.35), в котором квадратный блок A
0
1
отвечает
сужению ϕ
0
1
= ϕ
¯
¯
W
1
.
Если к подпространству W
1
выбрано ϕ-инвариантное прямое до-
полнение W
2
, то базис в V можно выбрать так, чтобы матрица дан-
ного л.э. стала блочно-диагональной вида (20.36); при этом второй
диагональный блок A
0
2
отвечает сужению ϕ
0
2
= ϕ
¯
¯
W
2
. ¤
Выше мы рассматривали действие л.э. в линейном пространстве,
разбитом в прямую сумму простейшего вида, содержащую всего два
слагаемых, одно из которых является инвариантным, а второе —
может являться. Полученный результат допускает обобщение на
случай произвольного количества прямых слагаемых, в предположе-
нии, что соответствующая фильтрация (см. п. 20.3) является инва-
риантной в следующем смысле.
Определение 20.1. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в прямой
сумме вида (20.1). Фильтрация (20.14), соответствующая этой пря-
мой сумме, называется ϕ-инвариантной, если каждая из частичных
сумм W
iq
(i = 0, ... , s) является ϕ-инвариантным подпространством.
Прокомментируем данное выше определение. Нулевое подпро-
странство W
0q
= O и все пространство W
sq
= V инвариантны ав-
томатически. Требуется, чтобы было инвариантным первое прямое
слагаемое W
1q
= W
1
. Не требуется инвариантность второго прямого
слагаемого W
2
, но требуется инвариантность суммы W
2q
= W
1
⊕W
2
;
и т. д. Если же оказываются инвариантными все W
i
, то автомати-
чески будет инвариантной и соответствующая фильтрация.
Предложение 20.4. Пусть л.э. ϕ ∈ L(V ) действует в прямой
сумме (20.1), такой, что соответствующая фильтрация (20.14) ϕ-ин-
вариантна. Тогда в пространстве V можно выбрать базис так, что
матрица A, отвечающая ϕ, примет следующий блочно-треугольный
вид:
§ 20       Линейные эндоморфизмы в прямой сумме               235

                                                 
                                 A01       O
                          n1 ×n1        n1 ×n2 
                      A =                        .        (20.36)
                     n×n     O            A02
                                n2 ×n1   n2 ×n2

   Итог нашим рассмотрениям подводит следующее
  Предложение 20.3. Пусть л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет нетривиальное
инвариантное подпространство W1 . Тогда в пространстве V можно
выбрать базис так, что матрица A, отвечающая ϕ, примет блочно-
треугольный вид¯ (20.35), в котором квадратный блок A01 отвечает
сужению ϕ01 = ϕ¯W .
                  1
  Если к подпространству W1 выбрано ϕ-инвариантное прямое до-
полнение W2 , то базис в V можно выбрать так, чтобы матрица дан-
ного л.э. стала блочно-диагональной вида (20.36);
                                               ¯ при этом второй
диагональный блок A2 отвечает сужению ϕ2 = ϕ¯W . ¤
                     0                    0
                                                       2

  Выше мы рассматривали действие л.э. в линейном пространстве,
разбитом в прямую сумму простейшего вида, содержащую всего два
слагаемых, одно из которых является инвариантным, а второе —
может являться. Полученный результат допускает обобщение на
случай произвольного количества прямых слагаемых, в предположе-
нии, что соответствующая фильтрация (см. п. 20.3) является инва-
риантной в следующем смысле.
  Определение 20.1. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в прямой
сумме вида (20.1). Фильтрация (20.14), соответствующая этой пря-
мой сумме, называется ϕ-инвариантной, если каждая из частичных
сумм Wqi (i = 0, ... , s) является ϕ-инвариантным подпространством.
   Прокомментируем данное выше определение. Нулевое подпро-
странство W0q = O и все пространство Wsq = V инвариантны ав-
томатически. Требуется, чтобы было инвариантным первое прямое
слагаемое W1q = W1 . Не требуется инвариантность второго прямого
слагаемого W2 , но требуется инвариантность суммы W2q = W1 ⊕ W2 ;
и т. д. Если же оказываются инвариантными все Wi , то автомати-
чески будет инвариантной и соответствующая фильтрация.
  Предложение 20.4. Пусть л.э. ϕ ∈ L(V ) действует в прямой
сумме (20.1), такой, что соответствующая фильтрация (20.14) ϕ-ин-
вариантна. Тогда в пространстве V можно выбрать базис так, что
матрица A, отвечающая ϕ, примет следующий блочно-треугольный
вид:

Страницы