Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 19 Свойства собственных подпространств 219
Из последнего факта следует, что если подпространство W явля-
ется ϕ-инвариантным, то оно является также инвариантным отно-
сительно оператора ψ(λ) = ϕ − λε при любом λ ∈ P .
Приведем еще примеры инвариантных подпространств.
Пример 19.1. Для любого л.э. ϕ ∈ L(V ) инвариантными явля-
ются его ядро N = Ker(ϕ) и образ N = Im(ϕ): ϕ(N) = O ⊆ N;
ϕ(M) ⊆ ϕ(V ) = M. Заметим, что сужение оператора на свое ядро
является нулевым оператором: ϕ
0
= ϕ
¯
¯
N
= o.
(Данный пример имеет далеко идущее продолжение; см. предло-
жение 23.3.)
Пример 19.2. Оператор дифференцирования
0
, рассматривае-
мый как л.э. пространства гладких функций V = C
∞
(R, R), имеет
бесконечную последовательность вложенных друг в друга инвари-
антных подпространств:
O < R = R
0
[x] < R
1
[x] < R
2
[x] < ... < R
n
[x] < ... < R[x] < V. (19.3)
Два последних пространства в цепочке (19.3) бесконечномерны,
остальные — конечномерны.
Можно заметить также, что подпространство R
n−1
[x] является
образом оператора
0
, если его рассматривать на R
n
[x].
Замечание 19.1. Отметим очевидные свойства ϕ-инвариантных
подпространств: пересечение и сумма любого семейства таких под-
пространств также являются ϕ-инвариантными.
Для пересечения это вообще очевидно, а для суммы
W = W
1
+ ... + W
s
ϕ-инвариантных подпространств W
i
(i = 1, ..., s) доказательство про-
водится так: если x = y
1
+ ... + y
s
∈ W, то
ϕ(x) = ϕ(y
1
+ ... + y
s
) = ϕ(y
1
) + ... + ϕ(y
s
) ∈ W
1
+ ... + W
s
= W.
19.2. Инвариантность собственных подпространств. Рас-
смотрим теперь л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном простран-
стве V , его спектр σ(ϕ) = {λ
1
, λ
2
, ... , λ
s
} и семейство собственных
подпространств {W
i
}
s
i=1
, где W
i
= S
λ
i
(ϕ).
§ 19          Свойства собственных подпространств                    219

   Из последнего факта следует, что если подпространство W явля-
ется ϕ-инвариантным, то оно является также инвариантным отно-
сительно оператора ψ(λ) = ϕ − λε при любом λ ∈ P .
   Приведем еще примеры инвариантных подпространств.
  Пример 19.1. Для любого л.э. ϕ ∈ L(V ) инвариантными явля-
ются его ядро N = Ker(ϕ) и образ N = Im(ϕ): ϕ(N ) = O ⊆ N ;
ϕ(M ) ⊆ ϕ(V ) = M. Заметим, что сужение
                                  ¯     оператора на свое ядро
                              0   ¯
является нулевым оператором: ϕ = ϕ N = o.
  (Данный пример имеет далеко идущее продолжение; см. предло-
жение 23.3.)
   Пример 19.2. Оператор дифференцирования 0 , рассматривае-
мый как л.э. пространства гладких функций V = C ∞ (R, R), имеет
бесконечную последовательность вложенных друг в друга инвари-
антных подпространств:

 O < R = R0 [x] < R1 [x] < R2 [x] < ... < Rn [x] < ... < R[x] < V. (19.3)

   Два последних пространства в цепочке (19.3) бесконечномерны,
остальные — конечномерны.
   Можно заметить также, что подпространство Rn−1 [x] является
образом оператора 0 , если его рассматривать на Rn [x].
  Замечание 19.1. Отметим очевидные свойства ϕ-инвариантных
подпространств: пересечение и сумма любого семейства таких под-
пространств также являются ϕ-инвариантными.
  Для пересечения это вообще очевидно, а для суммы

                          W = W1 + ... + Ws

ϕ-инвариантных подпространств Wi (i = 1, ..., s) доказательство про-
водится так: если x = y1 + ... + ys ∈ W, то

  ϕ(x) = ϕ(y1 + ... + ys ) = ϕ(y1 ) + ... + ϕ(ys ) ∈ W1 + ... + Ws = W.


   19.2. Инвариантность собственных подпространств. Рас-
смотрим теперь л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном простран-
стве V , его спектр σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs } и семейство собственных
подпространств {Wi }si=1 , где Wi = Sλi (ϕ).

Страницы