Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

84 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Многочлену
f(x) = f
0
+ f
1
x + f
2
x
2
+ ... + f
n
x
n
(7.19)
в базисе B = B
0
отвечает вектор-столбец
f
B
=
f
0
f
1
f
2
···
f
n
∈ P
n+1
. (7.20)
(Впрочем, чаще в этой теме используются векторы-строки f
t
B
.)
Применяя формулу Тейлора для многочленов (см. [A
1
, п. 47.3]),
можно выписать разложение многочлена (7.19) по базису B
a
:
f(x) = h
0
+ h
1
(x − a) + h
2
(x − a)
2
+ ... + h
n
(x − a)
n
, (7.21)
где коэффициенты выражаются через производные многочлена f(x)
в точке a:
h
k
=
f
(k)
(a)
k!
; k = 0, ... , n. (7.22)
Таким образом, многочлену (7.19) в базисе (7.18) будет соответ-
ствовать столбец
f
B
a
=
f(a)
f
0
(a)
f
00
(a)/2!
···
f
(n)
(a)/n!
. (7.23)
Чтобы найти матрицу перехода от B к B
a
, надо разложить вектор
(одночлен) (x−a)
k
по старому базису B. Это разложение получается
по биному Ньютона:
(x − a)
k
=
k
X
j=0
(−1)
k− j
C
j
k
a
k−j
x
j
.
Таким образом получается матрица
T =
1 −a a
2
−a
3
··· (−1)
n
a
n
0 1 −2a 3a
2
··· (−1)
n−1
na
n−1
0 0 1 −3a ··· (−1)
n−2
C
2
n
a
n−2
0 0 0 1 ··· (−1)
n−3
C
3
n
a
n−3
..................................................
0 0 0 0 ··· −na
0 0 0 0 ··· 1
. (7.24)
84        Линейные пространства. Базисы и размерности                 Гл. 1

     Многочлену
                     f (x) = f0 + f1 x + f2 x2 + ... + fn xn          (7.19)
в базисе B = B0 отвечает вектор-столбец
                                  
                               f0
                              f1 
                                  
                       f B =  f2  ∈ P n+1 .                         (7.20)
                                  
                               ···
                               fn
                                                                       t
  (Впрочем, чаще в этой теме используются векторы-строки f B .)
  Применяя формулу Тейлора для многочленов (см. [A1 , п. 47.3]),
можно выписать разложение многочлена (7.19) по базису Ba :
        f (x) = h0 + h1 (x − a) + h2 (x − a)2 + ... + hn (x − a)n ,   (7.21)
где коэффициенты выражаются через производные многочлена f (x)
в точке a:
                          f (k) (a)
                    hk =            ; k = 0, ... , n.       (7.22)
                             k!
   Таким образом, многочлену (7.19) в базисе (7.18) будет соответ-
ствовать столбец
                                             
                                     f (a)
                               f 0 (a) 
                                             
                      f Ba =  f 00 (a)/2!  .              (7.23)
                                             
                                      ···
                                   (n)
                                 f (a)/n!
   Чтобы найти матрицу перехода от B к Ba , надо разложить вектор
(одночлен) (x−a)k по старому базису B. Это разложение получается
по биному Ньютона:
                                   k
                                   X
                              k
                      (x − a) =          (−1)k−j Ckj ak−j xj .
                                   j=0

     Таким образом получается матрица
                                                                
              1 −a a2 −a3 · · ·                   (−1)n an
             0 1 −2a 3a2 · · · (−1)n−1 nan−1 
                                                                
            0 0          1     −3a · · · (−1)n−2 Cn2 an−2 
                                                                
        T = 0 0          0       1    · · · (−1)n−3 Cn3 an−3  .     (7.24)
                                                                
             .................................................. 
                                                                
              0 0         0       0    ···           −na
              0 0         0       0    ···             1

Страницы