Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

82 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
и требуется
3) найти координатный столбец a
C
этого вектора относительно
базиса C.
Р е ш е н и е. Прежде всего заметим, что все векторы, фигуриру-
ющие как элементы данных с.в. B и C, заданы своими разложениями
по естественному базису E
4
. В то же время запись вектора a в этом
базисе заранее не известна.
1. Чтобы установить обратимость матриц B и C, можно было
бы вычислить их определители, они должны быть ненулевыми. Мы
предпочтем другой подход: применим алгоритм Жордана — Гаусса
(см. [A
1
, п. 14.6]). Это позволит попутно найти обратные матри-
цы, B
−1
и C
−1
, которые далее понадобятся для вычисления матриц
перехода.
Приводим к виду Жордана — Гаусса следующую матрицу-конка-
тенацию:
(B |E) =
1 1 1 1
1 2 1 3
1 1 2 2
1 1 1 3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−→ ··· −→
−→
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 −1 −1 1
0 1 0 −1
−1/2 0 1 −1/2
−1/2 0 0 1/2
.
Можно констатировать, что матрица B обратима, и выписать
B
−1
=
2 −1 −1 1
0 1 0 −1
−1/2 0 1 −1/2
−1/2 0 0 1/2
.
Аналогично проверяется обратимость C и выписывается
C
−1
=
−2 0 0 1
9/2 −1 −1 −1/2
9/2 −1 0 −3/2
−3/2 0 1 −1/2
.
Тем самым установлено, что данные с.в. действительно являются
базисами в R
4
. Заметим также, что матрицы B и C могут рассмат-
риваться как матрицы перехода от E
4
к B и C соответственно.
82       Линейные пространства. Базисы и размерности        Гл. 1

и требуется
   3) найти координатный столбец aC этого вектора относительно
базиса C.
   Р е ш е н и е. Прежде всего заметим, что все векторы, фигуриру-
ющие как элементы данных с.в. B и C, заданы своими разложениями
по естественному базису E4 . В то же время запись вектора a в этом
базисе заранее не известна.
   1. Чтобы установить обратимость матриц B и C, можно было
бы вычислить их определители, они должны быть ненулевыми. Мы
предпочтем другой подход: применим алгоритм Жордана — Гаусса
(см. [A1 , п. 14.6]). Это позволит попутно найти обратные матри-
цы, B −1 и C −1 , которые далее понадобятся для вычисления матриц
перехода.
   Приводим к виду Жордана — Гаусса следующую матрицу-конка-
тенацию:
                            ¯            
                1 1 1 1 ¯1 0 0 0
                             ¯
             1 2 1 3 ¯0 1 0 0 
   (B | E) =                ¯             −→ · · · −→
                1 1 2 2 ¯0 0 1 0
                             ¯
                1 1 1 3        0 0 0 1
                                    ¯                       
                        1 0 0 0 ¯ 2          −1 −1       1
                                     ¯
                      0 1 0 0 ¯ 0            1    0    −1   
                   −→               ¯                       .
                        0 0 1 0 ¯ −1/2 0           1 −1/2
                                     ¯
                        0 0 0 1        −1/2 0      0    1/2

     Можно констатировать, что матрица B обратима, и выписать
                                               
                           2     −1   −1  1
                         0      1    0  −1     
                B −1   =                       .
                          −1/2   0    1 −1/2
                          −1/2   0    0  1/2

     Аналогично проверяется обратимость C и выписывается
                                               
                           −2    0    0   1
                         9/2    −1   −1 −1/2   
                C −1   =                       .
                           9/2   −1   0 −3/2
                          −3/2   0    1 −1/2

  Тем самым установлено, что данные с.в. действительно являются
базисами в R4 . Заметим также, что матрицы B и C могут рассмат-
риваться как матрицы перехода от E4 к B и C соответственно.

Страницы