Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 7 Замена базиса. Матрица перехода 81
Формула для T взята из замечания 7.2 [см. (7.9)]; в этом замеча-
нии использованы несколько иные обозначения: над именами бази-
сов нет тильд.
При использовании нескольких базисов (а у нас в задаче их три)
приходится усложнять обозначения для координатных столбцов:
— координатный столбец вектора x ∈ V относительно фиксиро-
ванного базиса A будет обозначаться просто x;
— для координатного столбца того же вектора относительно ба-
зиса B (или B
0
) примем обозначение x
B
(соответственно x
B
0
).
Правило (7.12) пересчета координатных столбцов при замене ба-
зиса в новых обозначениях примет вид:
x
B
= T · x
B
0
; x
B
0
= S · x
B
, (7.12a)
где матрицы T и S = T
−1
вычисляются по формулам (7.9).
Заметим, наконец, что в задачниках по линейной алгебре, во мно-
гих упражнениях отождествление линейного пространства с ариф-
метическим (то, что мы назвали оцифровкой) уже считается выпол-
ненным. Условия изначально записываются для арифметических
векторов.
Пример 7.1. Выполним следующее типовое упражнение.
З а д а ч а. В пространстве R
4
даны две с.в.:
B = [ b
1
, b
2
, b
3
, b
4
]; C = [ c
1
, c
2
, c
3
, c
4
],
элементы которых записаны (в качестве столбцов) в соответствую-
щие матрицы:
B =
1 1 1 1
1 2 1 3
1 1 2 2
1 1 1 3
; C =
1 −2 2 −2
0 −3 2 −3
3 −5 5 −4
3 −4 4 −4
.
Требуется:
1) доказать, что обе данные с.в. являются базисами;
2) вычислить матрицы перехода от B к C и обратно.
После этого рассматривается вектор a ∈ R
4
, имеющий в базисе B
координатный столбец
a
B
=
1
−1
1
−1
,
§7              Замена базиса. Матрица перехода                            81

   Формула для T взята из замечания 7.2 [см. (7.9)]; в этом замеча-
нии использованы несколько иные обозначения: над именами бази-
сов нет тильд.
   При использовании нескольких базисов (а у нас в задаче их три)
приходится усложнять обозначения для координатных столбцов:
   — координатный столбец вектора x ∈ V относительно фиксиро-
ванного базиса A будет обозначаться просто x;
   — для координатного столбца того же вектора относительно ба-
зиса B (или B 0 ) примем обозначение xB (соответственно xB0 ).
   Правило (7.12) пересчета координатных столбцов при замене ба-
зиса в новых обозначениях примет вид:

                       xB = T · xB0 ; xB0 = S · xB ,                    (7.12a)

где матрицы T и S = T −1 вычисляются по формулам (7.9).
   Заметим, наконец, что в задачниках по линейной алгебре, во мно-
гих упражнениях отождествление линейного пространства с ариф-
метическим (то, что мы назвали оцифровкой) уже считается выпол-
ненным. Условия изначально записываются для арифметических
векторов.
     Пример 7.1. Выполним следующее типовое упражнение.
     З а д а ч а. В пространстве R4 даны две с.в.:

                B = [ b1 , b2 , b3 , b4 ]; C = [ c1 , c2 , c3 , c4 ],

элементы которых записаны (в качестве столбцов) в соответствую-
щие матрицы:
                                                 
              1 1 1 1               1 −2 2 −2
            1 2 1 3              0 −3 2 −3 
       B=               ; C =                    .
              1 1 2 2               3 −5 5 −4
              1 1 1 3               3 −4 4 −4
  Требуется:
  1) доказать, что обе данные с.в. являются базисами;
  2) вычислить матрицы перехода от B к C и обратно.
  После этого рассматривается вектор a ∈ R4 , имеющий в базисе B
координатный столбец
                                    
                                   1
                                 −1 
                          aB =      ,
                                   1
                                  −1

Страницы