Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 7 Замена базиса. Матрица перехода 83
2. Матрица T перехода от B к C находится по первой из фор-
мул (7.9):
T = B
−1
· C =
2 0 1 −1
−3 1 −2 1
1 −2 2 −1
1 −1 1 −1
.
Матрица S, соответствующая обратному переходу, находится либо
по второй из формул (7.9), либо — непосредственным обращением
матрицы T :
S =
−1 −1 −1 1
2 1 1 −2
2 1 2 −3
−1 −1 0 −1
.
3. Координатный столбец a
C
вычисляется по второй из формул
(7.12а):
a
C
= S · a
B
=
−2
4
6
1
.
Если потребуется найти "истинный вид" этого вектора, т. е. его
координатный стобец a = a
E
в естественном базисе E = E
4
, то мож-
но использовать первую из формул (7.12a), с матрицей B в роли
матрицы перехода:
a = a
E
= B · a
B
=
0
−3
0
−2
.
Пример 7.2. В (n + 1)-мерном проостранстве P
n
[x] многочленов
степени не выше n естественный базис (см. пример 4.1) составляют
одночлены:
B = [ 1, x, x
2
, ... , x
n
]. (7.17)
Без всяких вычислений ясно, что для любого a ∈ P базис в этом
пространстве будут составлять "сдвинутые" одночлены:
B
a
= [ 1, x −a, (x − a)
2
, ... , (x − a)
n
]. (7.18)
В самом деле, с.в. (7.18) сводится к (7.17) заменой переменной
y = x − a (и поэтому также линейно независима).
§7             Замена базиса. Матрица перехода                   83

  2. Матрица T перехода от B к C находится по первой из фор-
мул (7.9):
                                           
                              2  0   1 −1
                            −3 1 −2 1 
            T = B −1 · C =                 .
                              1 −2 2 −1
                              1 −1 1 −1
  Матрица S, соответствующая обратному переходу, находится либо
по второй из формул (7.9), либо — непосредственным обращением
матрицы T :
                                        
                         −1 −1 −1 1
                        2     1   1 −2 
                   S=                   .
                          2    1   2 −3
                         −1 −1 0 −1
   3. Координатный столбец aC вычисляется по второй из формул
(7.12а):
                                       
                                     −2
                                    4 
                     aC = S · aB =     .
                                      6
                                      1
  Если потребуется найти "истинный вид" этого вектора, т. е. его
координатный стобец a = aE в естественном базисе E = E4 , то мож-
но использовать первую из формул (7.12a), с матрицей B в роли
матрицы перехода:
                                         
                                        0
                                      −3 
                   a = aE = B · aB =     .
                                        0
                                       −2

   Пример 7.2. В (n + 1)-мерном проостранстве Pn [x] многочленов
степени не выше n естественный базис (см. пример 4.1) составляют
одночлены:
                      B = [ 1, x, x2 , ... , xn ].          (7.17)
  Без всяких вычислений ясно, что для любого a ∈ P базис в этом
пространстве будут составлять "сдвинутые" одночлены:

               Ba = [ 1, x − a, (x − a)2 , ... , (x − a)n ].   (7.18)

   В самом деле, с.в. (7.18) сводится к (7.17) заменой переменной
y = x − a (и поэтому также линейно независима).

Страницы