Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 79 стр.

§7             Замена базиса. Матрица перехода                       79

заданные формулами (7.10) и (7.100 ).
  Введем в рассмотрение линейные автоморфизмы

               τ : P n −→ P n ; τ (x0 ) = T · x0 ; x0 ∈ P n       (7.14)

и
               σ : P n −→ P n ; σ(x) = S · x; x ∈ P n ,           (7.15)
определяемые квадратными матрицами T и S соответственно.
  Тот факт, что (7.14) и (7.15) действительно являются автомор-
физмами (т. е. обратимыми эндоморфизмами) арифметического ли-
нейного пространства P n , вытекает из взаимной обратности матриц
T и S (см. [A1 , п. 14.5]).
  Автоморфизмы τ и σ также взаимно обратны: σ = τ −1 . Они,
вместе с изоморфизмами (7.13), составляют следующую диаграмму.

                                                              Диагр. 7.1
                                  τ
                          Pn ←−−
                             −− −−
                                 −−−−
                                    −− −Pn
                                      −→
                                  σ
                            β-       %β 0
                                    V


  Для морфизмов, составляющих диаграмму 7.1, справедливы со-
отношения:
                    β = τ ◦ β 0 ; β 0 = σ ◦ β.         (7.16)
  Они следуют из (имеющих место для любого вектора x ∈ V ) фор-
мул (7.12). Первой из этих формул можно придать такой вид:

               β(x) = T · β 0 (x) = τ (β 0 (x)) (∀ x ∈ V ).

  А это равносильно первой из формул (7.16). Аналогично обосно-
вывается вторая формула.
   7.3. Задачи на вычисление матриц перехода и пересчет
координатных столбцов при замене базисов. Рассмотрим n-
мерное линейное пространство V над полем P. Для постановки и
решения любой вычислительной задачи в пространстве V надо по-
заботиться о выборе в нем некоторого исходного базиса (см. по этому
поводу замечание 6.1).