Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 7 Замена базиса. Матрица перехода 77
Если, помимо (7.5а), задан еще один базис
B
0
= [ b
0
1
, b
0
2
, ... , b
0
n
], (7.5b)
и введена соответствующая матрица
B
0
=
³
b
0
1
¯
¯
¯
b
0
2
¯
¯
¯
...
¯
¯
¯
b
0
n
´
, (7.7b)
то можно, с помощью предложения 7.1, вычислить матрицы перехо-
дов от (7.5а) к (7.5b) и обратно:
T = B
−1
· B
0
; S = T
−1
= (B
0
)
−1
· B. (7.9)
7.2. Изменение координатного столбца вектора при за-
мене базиса. Как объяснялось в п. 6.4, фиксация базиса в к.л.п.
позволяет определить координатный изоморфизм этого простран-
ства на арифметическое линейное пространство, сопоставляющий
векторам их координатные столбцы (относительно выбранного ба-
зиса). Там же замечалось, что при изменении базиса меняется и
координатный изоморфизм. В данном пункте мы проследим это яв-
ление более детально.
Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве V (над полем P )
два базиса: условно старый базис B, заданный описанием (7.5), и
условно новый базис, заданный аналогичным описанием
B
0
= [ b
0
1
, b
0
2
, ... , b
0
n
]. (7.5
0
)
Введем два координатных изоморфизма [вида (6.19)]:
β : V → P
n
; β(x) = x =
x
1
x
2
···
x
n
; (7.10)
β
0
: V → P
n
; β
0
(x) = x
0
=
x
0
1
x
0
2
···
x
0
n
, (7.10
0
)
где x ∈ V и векторы-столбцы x, x
0
∈ P
n
составляются по разложе-
ниям
x =
n
X
i=1
x
i
b
i
=
n
X
j=1
x
0
j
b
0
j
. (7.11)
§7               Замена базиса. Матрица перехода                 77

     Если, помимо (7.5а), задан еще один базис

                          B0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ],    (7.5b)

и введена соответствующая матрица
                          ³ ¯ ¯ ¯ ´
                       0      ¯ ¯ ¯
                      B = b01 ¯ b02 ¯ ... ¯b0n ,             (7.7b)

то можно, с помощью предложения 7.1, вычислить матрицы перехо-
дов от (7.5а) к (7.5b) и обратно:

                 T = B −1 · B 0 ; S = T −1 = (B 0 )−1 · B.     (7.9)

   7.2. Изменение координатного столбца вектора при за-
мене базиса. Как объяснялось в п. 6.4, фиксация базиса в к.л.п.
позволяет определить координатный изоморфизм этого простран-
ства на арифметическое линейное пространство, сопоставляющий
векторам их координатные столбцы (относительно выбранного ба-
зиса). Там же замечалось, что при изменении базиса меняется и
координатный изоморфизм. В данном пункте мы проследим это яв-
ление более детально.
   Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве V (над полем P )
два базиса: условно старый базис B, заданный описанием (7.5), и
условно новый базис, заданный аналогичным описанием

                          B0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ].     (7.50 )

     Введем два координатных изоморфизма [вида (6.19)]:
                                                     
                                                  x1
                                                x 
                   β : V → P n ; β(x) = x =  2  ;          (7.10)
                                                  ···
                                                  xn
                                                  0 
                                                   x1
                                                  x0 
                  β 0 : V → P n ; β 0 (x) = x0 =  2  ,     (7.100 )
                                                   ···
                                                   x0n
где x ∈ V и векторы-столбцы x, x0 ∈ P n составляются по разложе-
ниям
                         Xn         n
                                    X
                     x=     xi bi =    x0j b0j .           (7.11)
                              i=1             j=1

Страницы