Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 7 Замена базиса. Матрица перехода 75
Предложение 7.2. Зафиксируем произвольный базис
A = [ a
1
, a
2
, ... , a
n
] (7.4)
в n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) и рассмотрим
произольную с.в.
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
], (7.5)
также содержащую n векторов. Разложим векторы, входящие в
(7.5), по базису (7.4):
b
j
=
n
X
i=1
t
ij
a
i
; j = 1, ... , n. (7.6)
Из коэффициентов разложений (7.6) составим матрицу
T = (t
ij
)
n
i,j=1
∈ Mat(n, n; P ). (7.7)
Тогда
1) с.в. (7.5) является базисом в V в том и только том случае, когда
соответствующая матрица (7.7) обратима;
2) существует биекция между множеством всех базисов в про-
странстве V и множеством (группой) обратимых матриц GL(n, P ).
Доказательство. 1. Если система (7.5) является базисом, то мат-
рица (7.7) есть не что иное, как матрица перехода от а A к B (см.
определение 7.1), и ее обратимость вытекает из предложения 7.1.
Обратно, предположим, что матрица T является обратимой и до-
кажем, что с.в. (7.5) есть базис. Согласно предложению 5.4, для
этого достаточно проверить линейную независимость B. Рассмотрим
линейную комбинацию с нулевым значением:
n
X
j=1
λ
j
b
j
= 0. (7.8)
Требуется доказать обращение в нуль всех коэффициентов λ
i
∈ P
(i = 1, ..., n). Подставим разложения (7.6) в равенство (7.8) и произ-
ведем еще раз уже привычные преобразования с двойными суммами:
0 =
n
X
j=1
λ
j
b
j
=
n
X
j=1
λ
j
Ã
n
X
i=1
t
ij
a
i
!
=
n
X
i=1
n
X
j=1
t
ij
λ
j
a
i
=
n
X
i=1
[T · λ ]
i
a
i
§7               Замена базиса. Матрица перехода                       75

     Предложение 7.2. Зафиксируем произвольный базис

                           A = [ a1 , a2 , ... , an ]                 (7.4)

в n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) и рассмотрим
произольную с.в.
                      B = [ b1 , b2 , ... , bn ],         (7.5)
также содержащую n векторов. Разложим векторы, входящие в
(7.5), по базису (7.4):
                               n
                               X
                       bj =          tij ai ; j = 1, ... , n.         (7.6)
                               i=1

     Из коэффициентов разложений (7.6) составим матрицу

                      T = (tij )ni,j=1 ∈ Mat(n, n; P ).               (7.7)

   Тогда
   1) с.в. (7.5) является базисом в V в том и только том случае, когда
соответствующая матрица (7.7) обратима;
   2) существует биекция между множеством всех базисов в про-
странстве V и множеством (группой) обратимых матриц GL(n, P ).
   Доказательство. 1. Если система (7.5) является базисом, то мат-
рица (7.7) есть не что иное, как матрица перехода от а A к B (см.
определение 7.1), и ее обратимость вытекает из предложения 7.1.
   Обратно, предположим, что матрица T является обратимой и до-
кажем, что с.в. (7.5) есть базис. Согласно предложению 5.4, для
этого достаточно проверить линейную независимость B. Рассмотрим
линейную комбинацию с нулевым значением:
                                n
                                X
                                       λj bj = 0.                     (7.8)
                                j=1

   Требуется доказать обращение в нуль всех коэффициентов λi ∈ P
(i = 1, ..., n). Подставим разложения (7.6) в равенство (7.8) и произ-
ведем еще раз уже привычные преобразования с двойными суммами:
                         Ã n       !                
     Xn             n
                    X     X           n
                                      X   Xn                n
                                                            X
 0=        λj b j =   λj     tij ai =        tij λj  ai =   [T · λ ]i ai
      j=1       j=1      i=1                 i=1    j=1         i=1

Страницы