Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 74 стр.

74     Линейные пространства. Базисы и размерности                                             Гл. 1

   Подставим разложения (7.1) в разложения (7.1а) и произведем
манипуляции с двойными суммами, подробно описанные при дока-
зательстве предложения 5.1:


                   n
                               Ã   n
                                                  !       n
                                                            Ã n                        !
                   X               X                      X  X
          b00k =         sjk             tij bi       =                   sjk tij bi       =
                   j=1             i=1                    j=1   i=1
                                                                              
                   n
                   X         n
                             X                            n
                                                          X         n
                                                                    X
             =                    sjk tij bi  =                        sjk tij  bi =
                   i=1       j=1                          i=1       j=1
                                           
                   n
                   X         n
                             X                    n
                                                  X
             =                    tij sjk  bi =   [T · S]ik bi ,
                   i=1       j=1                          i=1


где на заключительном шаге использовано правило перемножения
матриц.
   Последний результат сравним с формулами (7.2b). Получены два
разложения одного и того же вектора b00k по базису B. В силу свой-
ства единственности (см. п. 4.2), коэффициенты этих разложений
должны совпадать:

                         rik = [T · S]ik ; i, k = 1, ..., n,

а это есть равенство матриц:

                                          R = T · S.

   3. Если применить два первых утверждения (доказанных выше)
к последовательности переходов: от базиса B к B 0 (с матрицей пе-
рехода T ), а затем назад, от B0 к B (с матрицей S), то получит-
ся равенство матриц T · S = En , из которого следует обратимость
(и взаимная обратность) матриц перехода: S = T −1 . ¤

   Предложение 7.1 позволяет описать совокупность всех базисов в
данном n-мерном к.л.п. V (над полем P ). С этой целью нужно зафик-
сировать один из них, после чего все базисы в V будут находиться во
взаимно однозначном соответствии с обратимыми (n×n)-матрицами
с элементами из P. Точнее, справедливо следующее