Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

72 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
§
§
§ 7. Матрица перехода
от одного базиса к другому.
Изменение координатного столбца вектора
при замене базиса
7.1. Матрица перехода от одного базиса в к.л.п. к дру-
гому. Свойства матриц перехода. За исключением некоторых
тривиальных случаев, в к.л.п. имеется более одного базиса. Если,
к тому же, основное поле бесконечно, то и базисов в ненулевом про-
странстве будет бесконечно много. В абстрактном к.л.п. все эти ба-
зисы совершенно равноправны. Поэтому возникает необходимость
описания перехода от одного базиса к другому.
Пусть V — ненулевое к.л.п. над полем P. Рассмотрим два базиса в
данном пространстве, B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
] и B
0
= [ b
0
1
, b
0
2
, ... , b
0
n
]. Первый
из этих базисов условно назовем "старым", а второй — "новым". (На
самом деле они равноправны и легко могут поменяться ролями.)
Определение 7.1. Матрицей перехода от базиса B к базису B
0
называется квадратная матрица, составленная из координатных сто-
лбцов, которые соответствуют векторам нового базиса B
0
в старом
базисе B.
Опишем подробнее построение матрицы перехода. Каждый век-
тор b
0
j
(j = 1, ..., n) нового базиса разложим по старому базису:
b
0
j
= t
1j
b
1
+ t
2j
b
2
+ ... + t
nj
b
n
=
n
X
i=1
t
ij
b
i
. (7.1)
Коэффициенты t
ij
∈ P (i = 1, ..., n) разложения (7.1) образуют
вектор-столбец
b
0
j
=
t
1j
t
2j
···
t
nj
∈ P
n
. (7.2)
Обратите внимание на принцип нумерации коэффициентов: вто-
рой номер j — это номер вектора из нового базиса, а первый номер
i — это номер его координаты относительно старого базиса. Скаляры
t
ij
= [b
0
j
]
i
(i, j = 1, ... , n) составляют квадратную матрицу
T
n×n
=
³
b
0
1
¯
¯
¯
b
0
2
¯
¯
¯
...
¯
¯
¯
b
0
n
´
=
t
11
t
21
···
t
n1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
t
12
t
22
···
t
n2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
···
···
···
···
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
t
1n
t
2n
···
t
nn
, (7.3)
72       Линейные пространства. Базисы и размерности                             Гл. 1

                          § 7. Матрица перехода
            от одного базиса к другому.
      Изменение координатного столбца вектора
                 при замене базиса
   7.1. Матрица перехода от одного базиса в к.л.п. к дру-
гому. Свойства матриц перехода. За исключением некоторых
тривиальных случаев, в к.л.п. имеется более одного базиса. Если,
к тому же, основное поле бесконечно, то и базисов в ненулевом про-
странстве будет бесконечно много. В абстрактном к.л.п. все эти ба-
зисы совершенно равноправны. Поэтому возникает необходимость
описания перехода от одного базиса к другому.
   Пусть V — ненулевое к.л.п. над полем P. Рассмотрим два базиса в
данном пространстве, B = [ b1 , b2 , ... , bn ] и B 0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ]. Первый
из этих базисов условно назовем "старым", а второй — "новым". (На
самом деле они равноправны и легко могут поменяться ролями.)
  Определение 7.1. Матрицей перехода от базиса B к базису B0
называется квадратная матрица, составленная из координатных сто-
лбцов, которые соответствуют векторам нового базиса B0 в старом
базисе B.
  Опишем подробнее построение матрицы перехода. Каждый век-
тор b0j (j = 1, ..., n) нового базиса разложим по старому базису:
                                                             n
                                                             X
                  b0j   = t1j b1 + t2j b2 + ... + tnj bn =         tij bi .        (7.1)
                                                             i=1

    Коэффициенты tij ∈ P (i = 1, ..., n) разложения (7.1) образуют
вектор-столбец
                                              
                                           t1j
                                         t 
                                   b0j =  2j  ∈ P n .                    (7.2)
                                           ···
                                           tnj
    Обратите внимание на принцип нумерации коэффициентов: вто-
рой номер j — это номер вектора из нового базиса, а первый номер
i — это номер его координаты относительно старого базиса. Скаляры
tij = [b0j ]i (i, j = 1, ... , n) составляют квадратную матрицу
                                                   ¯     ¯       ¯     
                                                t11 ¯ t12 ¯ · · · ¯ t1n
                      ³ ¯ ¯ ¯ ´                     ¯     ¯       ¯
                          0  ¯ 0¯ ¯ 0          t21 ¯ t22 ¯ · · · ¯ t2n 
                T = b1 ¯b2 ¯ ... ¯bn =             ¯     ¯       ¯     , (7.3)
               n×n                              ··· ¯··· ¯··· ¯···
                                                    ¯     ¯       ¯
                                                tn1 tn2 · · · tnn

Страницы