Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

70 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
2. Предположим, dim(V ) = dim(W ), и выберем произвольные ба-
зисы B и C в пространствах V и W соответственно. Эти базисы име-
ют одинаковое количество векторов, следовательно, по теореме 6.1,
существует изоморфизм V на W , переводящий B в C. ¤
6.4. Координатный изоморфизм к.л.п. на арифметиче-
ское линейное пространство. Согласно теореме 6.2, все к.л.п.
одинаковой размерности попарно изоморфны. Рассмотрим произ-
вольное к.л.п. V (ненулевой) размерности n и, вместе с ним, ариф-
метическое линейное пространство P
n
, которое, как известно (см.
пример 5.1), также имеет размерность n. Стало быть, V
∼
=
P
n
.
Следующее предложение уточняет этот результат, указывая кон-
кретный (называемый координатным) изоморфизм V на P
n
, кото-
рый определяется выбором базиса в пространстве V.
Предложение 6.2. Рассмотрим линейное пространство V нену-
левой размерности n над полем P и зафиксируем в нем какой-либо
базис (6.4). Рассмотрим также арифметическое линейное простран-
ство P
n
, снабженное естественным базисом
E
n
= [ e
1
, e
2
, ... , e
n
]. (6.17)
Определим отображение
β : V −→ P
n
, (6.18)
сопоставляя произвольному вектору x ∈ V координатный вектор-
столбец
β(x) = x =
x
1
x
2
···
x
n
∈ P
n
, (6.19)
составленный из координат вектора x в базисе (6.4), т. е. из коэффи-
циентов разложения (6.7).
Отображение (6.18) является линейным изоморфизмом к.л.п. V
на пространство P
n
, переводящим базис (6.4) в базис (6.17).
Доказательство. В соответствии с четвертым утверждением тео-
ремы 6.1, существует однозначно определенный линейный изомор-
физм пространства V на P
n
, переводящий зафиксированный базис
B в естественный базис E
n
. Обозначим этот изоморфизм буквой β и
докажем для него формулу (6.19).
70       Линейные пространства. Базисы и размерности          Гл. 1

  2. Предположим, dim(V ) = dim(W ), и выберем произвольные ба-
зисы B и C в пространствах V и W соответственно. Эти базисы име-
ют одинаковое количество векторов, следовательно, по теореме 6.1,
существует изоморфизм V на W , переводящий B в C. ¤
  6.4. Координатный изоморфизм к.л.п. на арифметиче-
ское линейное пространство. Согласно теореме 6.2, все к.л.п.
одинаковой размерности попарно изоморфны. Рассмотрим произ-
вольное к.л.п. V (ненулевой) размерности n и, вместе с ним, ариф-
метическое линейное пространство P n , которое, как известно (см.
пример 5.1), также имеет размерность n. Стало быть, V ∼= P n.
  Следующее предложение уточняет этот результат, указывая кон-
кретный (называемый координатным) изоморфизм V на P n , кото-
рый определяется выбором базиса в пространстве V.
   Предложение 6.2. Рассмотрим линейное пространство V нену-
левой размерности n над полем P и зафиксируем в нем какой-либо
базис (6.4). Рассмотрим также арифметическое линейное простран-
ство P n , снабженное естественным базисом

                        En = [ e1 , e2 , ... , en ].          (6.17)

     Определим отображение

                             β : V −→ P n ,                   (6.18)

сопоставляя произвольному вектору x ∈ V координатный вектор-
столбец
                                    
                                 x1
                               x 
                    β(x) = x =  2  ∈ P n ,           (6.19)
                                 ···
                                 xn
составленный из координат вектора x в базисе (6.4), т. е. из коэффи-
циентов разложения (6.7).
   Отображение (6.18) является линейным изоморфизмом к.л.п. V
на пространство P n , переводящим базис (6.4) в базис (6.17).
  Доказательство. В соответствии с четвертым утверждением тео-
ремы 6.1, существует однозначно определенный линейный изомор-
физм пространства V на P n , переводящий зафиксированный базис
B в естественный базис En . Обозначим этот изоморфизм буквой β и
докажем для него формулу (6.19).

Страницы