Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 69 стр.

§6        Основная теорема о линейных отображениях                69

   3. Пусть теперь (6.1) является эпиморфизмом, а (6.2) порождает
пространство V. Докажем, что (6.3) порождает W. Возьмем произ-
вольный вектор w ∈ W. В силу сюръективности ϕ, найдется вектор
x ∈ V, такой, что ϕ(x) = w. С.в. (6.2) порождает V , поэтому x можно
разложить по A:
                                 X k
                            x=       λi ai .                    (6.15)
                                 i=1

   Применяя к (6.15) отображение (6.1) и пользуясь его линейно-
стью, получим
                                k
                                X
                     w = ϕ(x) =    λi ϕ(ai ).
                                   i=1

   Значит, произвольный вектор пространства W линейно выража-
ется через ϕ(A), что и требовалось.
   4. Линейный изоморфизм, будучи одновременно мономорфизмом
и эпиморфизмом, сохраняет как свойство линейной независимости,
так и свойство быть порождающей системой, а значит — и свой-
ство быть базисом. (Добавим, что, в силу четвертого утверждения
теоремы 6.1, свойство переводить базис в базис является характе-
ристическим для линейных изоморфизмов.) ¤

  6.3. Теорема об изоморфизме для к.л.п. Следующая тео-
рема дает критерий изморфности двух к.л.п. Напомним, что два
линейных пространства, V и W , над одним и тем же полем P, назы-
ваются изоморфными (и это обозначается V ∼= W ), если существует
линейный изоморфизм одного из этих простраств на другое.

  Теорема 6.2. Два к.л.п. V и W над одним и тем же полем P
изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности одинаковы:

                  [V ∼
                     = W ] ⇔ [ dim(V ) = dim(W ) ].             (6.16)



   Доказательство. 1. Если V ∼  = W, то существует изоморфизм
ϕ : V → W . По предложению 6.1, ϕ переводит базис пространства V
в базис пространства W . Стало быть, эти базисы имеют одинако-
вое количество векторов (равномощны), т. е. размерности данных
пространств равны.