Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

68 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
6.2. Свойства линейных изоморфизмов. Для дальнейшего
нам понадобятся некоторые простые свойства изоморфизмов к.л.п.
По определению, гомоморфизмы линейных пространств сохраняют
суммы векторов и произведения векторов на скаляры. Как след-
ствие, получается сохранение линейных комбинаций. Следующее
предложение проясняет вопрос с сохранением при линейных отобра-
жениях свойств (конечных) систем векторов.
Предложение 6.1. 1. Всякий линейный гомоморфизм сохраня-
ет свойство линейной зависимости с.в.
2. Линейные мономорфизмы сохраняют свойство линейной неза-
висимости с.в.
3. Линейные эпиморфизмы сохраняют свойство с.в. быть порож-
дающей.
4. Линейные изоморфизмы сохраняют все упомянутые выше свой-
ства с.в., а также свойство с.в. быть базисом.
Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы с очевидно-
стью следует из сохранения линейных комбинаций и сохранения ну-
ля (см. п. 1.6).
2. Рассмотрим линейный гомоморфизм (6.1), про который пред-
положим, что он является мономорфизмом, и с.в. (6.2), являющуюся
линейно независимой. Докажем, что ее образ, с.в. (6.3), также яв-
ляется линейно независимой. Рассмотрим линейную комбинацию с
нулевым значением:
k
X
i=1
λ
i
ϕ(a
i
) = 0. (6.13)
Ввиду линейности ϕ, (6.13) равносильно
ϕ(
k
X
i=1
λ
i
a
i
) = 0. (6.14)
В силу свойства ϕ(0) = 0 и инъективности ϕ, равенство (6.14)
влечет равенство
k
X
i=1
λ
i
a
i
= 0,
которое, в свою очередь, в силу линейной независимости A, влечет
обращение в нуль всех коэффициентов λ
i
(i = 1, ..., k). Линейная
независимость ϕ(A) доказана.
68       Линейные пространства. Базисы и размерности        Гл. 1

   6.2. Свойства линейных изоморфизмов. Для дальнейшего
нам понадобятся некоторые простые свойства изоморфизмов к.л.п.
По определению, гомоморфизмы линейных пространств сохраняют
суммы векторов и произведения векторов на скаляры. Как след-
ствие, получается сохранение линейных комбинаций. Следующее
предложение проясняет вопрос с сохранением при линейных отобра-
жениях свойств (конечных) систем векторов.
   Предложение 6.1. 1. Всякий линейный гомоморфизм сохраня-
ет свойство линейной зависимости с.в.
   2. Линейные мономорфизмы сохраняют свойство линейной неза-
висимости с.в.
   3. Линейные эпиморфизмы сохраняют свойство с.в. быть порож-
дающей.
   4. Линейные изоморфизмы сохраняют все упомянутые выше свой-
ства с.в., а также свойство с.в. быть базисом.
   Доказательство. 1. Первое утверждение теоремы с очевидно-
стью следует из сохранения линейных комбинаций и сохранения ну-
ля (см. п. 1.6).
   2. Рассмотрим линейный гомоморфизм (6.1), про который пред-
положим, что он является мономорфизмом, и с.в. (6.2), являющуюся
линейно независимой. Докажем, что ее образ, с.в. (6.3), также яв-
ляется линейно независимой. Рассмотрим линейную комбинацию с
нулевым значением:
                         Xk
                            λi ϕ(ai ) = 0.                  (6.13)
                           i=1

     Ввиду линейности ϕ, (6.13) равносильно

                             Xk
                           ϕ(   λi ai ) = 0.                (6.14)
                             i=1

  В силу свойства ϕ(0) = 0 и инъективности ϕ, равенство (6.14)
влечет равенство
                         Xk
                            λi ai = 0,
                             i=1

которое, в свою очередь, в силу линейной независимости A, влечет
обращение в нуль всех коэффициентов λi (i = 1, ..., k). Линейная
независимость ϕ(A) доказана.

Страницы