Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

66 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
или, в окончательном виде:
ϕ(x) =
n
X
i=1
x
i
c
i
. (6.8)
Формулой (6.8) значение отображения (6.1) на произвольном век-
торе x ∈ V однозначно определено.
1.2. В результате доказательства единственности линейного отоб-
ражения (6.1), удовлетворяющего (6.6), получена формула (6.8), ко-
торую можно использовать для доказательства существования та-
кого отображения. Примем эту формулу за определение искомого
отображения ϕ.
Но, в такой редакции, нам заранее не известно, что получается
линейное отображение. Убедимся в том, что это действительно так.
Пусть x и y — два произвольных вектора пространства V ; для
первого из них имеется разложение (6.7), а для второго — аналогич-
ное разложение:
y =
n
X
i=1
y
i
b
i
; y
i
∈ P (i = 1, ..., n). (6.9)
Складывая формулы (6.7) и (6.9) и пользуясь аксиомами линей-
ного пространства (V
1
) — (V
8
) , мы получим разложение для суммы
векторов:
x + y =
n
X
i=1
(x
i
+ y
i
)b
i
. (6.10)
Применяя к вектору (6.10) определение (6.8) и снова пользуясь
аксиомами, мы получим:
ϕ(x + y) =
n
X
i=1
(x
i
+ y
i
)c
i
=
n
X
i=1
(
x
i
c
i
+ y
i
c
i
) =
=
n
X
j=i
x
i
c
i
+
n
X
i=1
y
i
c
i
= ϕ(x) + ϕ(y).
Докажите самостоятельно справедливость второго утверждения:
ϕ(λx) = λϕ(x) для любого скаляра λ ∈ P.
Необходимо еще убедиться в том, что отображение, построенное
по формуле (6.8), удовлетворяет условию (6.6). Но это практически
66     Линейные пространства. Базисы и размерности                            Гл. 1

или, в окончательном виде:
                                        n
                                        X
                              ϕ(x) =           xi ci .                         (6.8)
                                         i=1

  Формулой (6.8) значение отображения (6.1) на произвольном век-
торе x ∈ V однозначно определено.
  1.2. В результате доказательства единственности линейного отоб-
ражения (6.1), удовлетворяющего (6.6), получена формула (6.8), ко-
торую можно использовать для доказательства существования та-
кого отображения. Примем эту формулу за определение искомого
отображения ϕ.
  Но, в такой редакции, нам заранее не известно, что получается
линейное отображение. Убедимся в том, что это действительно так.
  Пусть x и y — два произвольных вектора пространства V ; для
первого из них имеется разложение (6.7), а для второго — аналогич-
ное разложение:
                      n
                      X
                 y=         yi bi ; yi ∈ P (i = 1, ..., n).                    (6.9)
                      i=1

  Складывая формулы (6.7) и (6.9) и пользуясь аксиомами линей-
ного пространства (V1 ) — (V8 ) , мы получим разложение для суммы
векторов:
                                 Xn
                       x+y =        (xi + yi )bi .           (6.10)
                                    i=1

  Применяя к вектору (6.10) определение (6.8) и снова пользуясь
аксиомами, мы получим:
                        n
                        X                        n
                                                 X
           ϕ(x + y) =         (xi + yi )ci =             (xi ci + yi ci ) =
                        i=1                      i=1
                        Xn              n
                                        X
                    =         xi ci +         yi ci = ϕ(x) + ϕ(y).
                        j=i             i=1


  Докажите самостоятельно справедливость второго утверждения:
ϕ(λx) = λϕ(x) для любого скаляра λ ∈ P.
  Необходимо еще убедиться в том, что отображение, построенное
по формуле (6.8), удовлетворяет условию (6.6). Но это практически

Страницы