Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 6 Основная теорема о линейных отображениях 65
Теорема 6.1 (основная теорема о линейных отображениях —
ОТЛО). Пусть V и W — два линейных пространства над одним и
тем же полем P, причем пространство V является конечномерным и
dim(V ) = n. Пусть
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
] (6.4)
— базис пространства V и
C = [ c
1
, c
2
, ... , c
n
] (6.5)
— произвольная с.в. в пространстве W.
Тогда
1) существует единственный линейный гомоморфизм (6.1), такой,
что
ϕ(B) = C; (6.6)
2) если система C линейно независима, то этот гомоморфизм яв-
ляется мономорфизмом;
3) если пространство W также является конечномерным и с.в. C
порождает W , то гомоморфизм (6.1) является эпиморфизмом;
4) если W конечномерно и C является базисом W , то (6.1) является
изоморфизмом.
Доказательство. 1.1. Докажем сначала единственность линей-
ного отображения ϕ, удовлетворяющего условию (6.6), в предполо-
жении, что такое отображение существует.
Условие (6.6) в подробной записи выглядит следующим образом:
ϕ(b
i
) = c
i
; i = 1, ..., n. (6.6a)
Оно задает ϕ на базисных векторах пространства V. Произволь-
ный вектор x ∈ V однозначно разлагается по базису B :
x =
n
X
i=1
x
i
b
i
; x
i
∈ P (i = 1, ..., n). (6.7)
Будучи линейным, отображение ϕ сохраняет линейные комбина-
ции [см. формулу (1.11)]. Поэтому значение ϕ на векторе (6.7) зада-
ется формулой
ϕ(x) =
n
X
i=1
x
i
ϕ(b
i
)
(6.6a)
=====
n
X
i=1
x
i
c
i
,
§6        Основная теорема о линейных отображениях                      65

  Теорема 6.1 (основная теорема о линейных отображениях —
ОТЛО). Пусть V и W — два линейных пространства над одним и
тем же полем P, причем пространство V является конечномерным и
dim(V ) = n. Пусть
                        B = [ b1 , b2 , ... , bn ]        (6.4)
— базис пространства V и

                            C = [ c1 , c2 , ... , cn ]                 (6.5)

— произвольная с.в. в пространстве W.
  Тогда
  1) существует единственный линейный гомоморфизм (6.1), такой,
что
                            ϕ(B) = C;                      (6.6)
  2) если система C линейно независима, то этот гомоморфизм яв-
ляется мономорфизмом;
  3) если пространство W также является конечномерным и с.в. C
порождает W , то гомоморфизм (6.1) является эпиморфизмом;
  4) если W конечномерно и C является базисом W , то (6.1) является
изоморфизмом.
  Доказательство. 1.1. Докажем сначала единственность линей-
ного отображения ϕ, удовлетворяющего условию (6.6), в предполо-
жении, что такое отображение существует.
  Условие (6.6) в подробной записи выглядит следующим образом:

                       ϕ(bi ) = ci ; i = 1, ..., n.                   (6.6a)

  Оно задает ϕ на базисных векторах пространства V. Произволь-
ный вектор x ∈ V однозначно разлагается по базису B :
                      n
                      X
                 x=         xi bi ; xi ∈ P (i = 1, ..., n).            (6.7)
                      i=1

   Будучи линейным, отображение ϕ сохраняет линейные комбина-
ции [см. формулу (1.11)]. Поэтому значение ϕ на векторе (6.7) зада-
ется формулой
                            n
                            X                         n
                                                      X
                                             (6.6a)
                 ϕ(x) =           xi ϕ(bi ) =====           xi ci ,
                            i=1                       i=1

Страницы