Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 5 Равномощность базисов. Размерность 63
подобрать друой базис (5.5
0
), который содержал бы A в качестве
подсистемы.
Рассуждение будет похожим на то, которое применялось в [A
1
]
для доказательства теоремы 11.1.
Если s = n, то нечего доказывать: система A сама является ба-
зисом. Если же s < n, то A базисом не является, и, значит, — не
является максимальной линейно независимой с.в. Поэтому найдет-
ся другая, строго более широкая линейно независимая система A
0
,
содержащая, скажем, s
0
векторов, где s < s
0
6 n.
И снова, если s
0
= n, то базис найден, в противном случае — про-
должаем процесс, который обязан закончиться через конечное число
шагов (поскольку мощности линейно независимых с.в. в простран-
стве V ограничены числом n). В итоге будет получен некоторый
базис B
0
в пространстве V, содержащий с.в. A.
2. Второе утверждение является непосредственным следствием
первого. В самом деле, произвольный базис в подпространстве W
1
можно рассматривать как линейно независимую с.в. в (более широ-
ком) подпространстве W
2
, и, следовательно, по первому утвержде-
нию данного предложения, его можно включить в некоторый базис
в W
2
. ¤
5.5. Свойство строгой монотонности размерности. Дока-
зываемое ниже предложение 5.6 является обобщением предложения
11.3 из пособия [A
1
].
Предложение 5.6. Пусть V — к.л.п. над полем P.
1. Если W является подпространством в пространстве V (подпро-
странством в V, отличным от всего пространства), то dim(W ) не
превосходит (строго меньше, чем) dim(V ).
2. Если W 6 V и dim(W ) = dim(V ), то W = V.
Доказательство. Согласно предложению 5.5, базис A в подпро-
странстве W может быть продолжен до базиса B в V. Поэтому спра-
ведлива импликация
[ W 6 V ] ⇒ [ dim(W ) 6 dim(V ) ], (5.7)
выражающая свойство монотонности размерности.
Если W является подпространством в V , отличным от V, то и
базис A является подсистемой в базисе B, отличной от B. (Случись
иначе, совпадение базисов A = B повлекло бы совпадение их линей-
ных оболочек: W = V, что противоречит предположению.)
§5           Равномощность базисов. Размерность                 63

подобрать друой базис (5.50 ), который содержал бы A в качестве
подсистемы.
   Рассуждение будет похожим на то, которое применялось в [A1 ]
для доказательства теоремы 11.1.
   Если s = n, то нечего доказывать: система A сама является ба-
зисом. Если же s < n, то A базисом не является, и, значит, — не
является максимальной линейно независимой с.в. Поэтому найдет-
ся другая, строго более широкая линейно независимая система A0 ,
содержащая, скажем, s0 векторов, где s < s0 6 n.
   И снова, если s0 = n, то базис найден, в противном случае — про-
должаем процесс, который обязан закончиться через конечное число
шагов (поскольку мощности линейно независимых с.в. в простран-
стве V ограничены числом n). В итоге будет получен некоторый
базис B0 в пространстве V, содержащий с.в. A.
   2. Второе утверждение является непосредственным следствием
первого. В самом деле, произвольный базис в подпространстве W1
можно рассматривать как линейно независимую с.в. в (более широ-
ком) подпространстве W2 , и, следовательно, по первому утвержде-
нию данного предложения, его можно включить в некоторый базис
в W2 . ¤

   5.5. Свойство строгой монотонности размерности. Дока-
зываемое ниже предложение 5.6 является обобщением предложения
11.3 из пособия [A1 ].
  Предложение 5.6. Пусть V — к.л.п. над полем P.
  1. Если W является подпространством в пространстве V (подпро-
странством в V, отличным от всего пространства), то dim(W ) не
превосходит (строго меньше, чем) dim(V ).
  2. Если W 6 V и dim(W ) = dim(V ), то W = V.
  Доказательство. Согласно предложению 5.5, базис A в подпро-
странстве W может быть продолжен до базиса B в V. Поэтому спра-
ведлива импликация

                 [ W 6 V ] ⇒ [ dim(W ) 6 dim(V ) ],           (5.7)

выражающая свойство монотонности размерности.
  Если W является подпространством в V , отличным от V, то и
базис A является подсистемой в базисе B, отличной от B. (Случись
иначе, совпадение базисов A = B повлекло бы совпадение их линей-
ных оболочек: W = V, что противоречит предположению.)

Страницы