Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

62 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
Доказательство. Некоторые из сформулированных утверждений
установлены ранее (какие и где?); те, которые пока не доказаны, —
докажите самостоятельно. ¤
Замечание 5.1.
∗
Теорема о равномощности базисов остается спра-
ведливой и для бесконечных базисов (базисов Гамеля; см. п. 4.4) в
бесконечномерных линейных пространствах. Можно также ввести
понятие размерности бесконечномерного пространства (как мощно-
сти базиса Гамеля), но это будет уже не натуральное число, а так
называемое кардинальное число. (С иерархией бесконечных кардина-
лов можно познакомиться по учебникам теории множеств; см., на-
пример, Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. М.:
Изд-во МГУ, 1988.)
5.4. Продолжение базисов. Всякая линейно независимая с.в.
является базисом в своей линейной оболочке. Ниже будут получены
результаты, касающиеся включения линейно независимой с.в. в ба-
зис (во всем пространстве), или же базиса в некотором подпростран-
стве — в базис в другом, более широком подпространстве. (В пособии
[A
1
] соответствующий материал сосредоточен в п. 10.4.)
Предложение 5.5. Пусть V — линейное пространство размер-
ности n над полем P,
B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
] (5.5)
— произвольный базис этого пространства.
1. Всякая линейно независимая с.в.
A = [ a
1
, a
2
, ... , a
s
] (5.6)
в пространстве V может быть включена в некоторый базис
B
0
= [ b
0
1
, b
0
2
, ... , b
0
n
] (5.5
0
)
этого пространства.
2. Всякий базис в некотором линейном подпространстве W
1
про-
странства V может быть включен в некоторый базис в любом под-
пространстве W
2
, таком, что W
1
6 W
2
6 V.
Доказательство. 1. Мы уже знаем (из предложения 5.4), что
мощность с.в. (5.6) не превосходит мощность базиса (5.5): s 6 n.
Но это, разумеется, не означает, что A содержится в B. Требуется
62     Линейные пространства. Базисы и размерности          Гл. 1

   Доказательство. Некоторые из сформулированных утверждений
установлены ранее (какие и где?); те, которые пока не доказаны, —
докажите самостоятельно. ¤
   Замечание 5.1.∗ Теорема о равномощности базисов остается спра-
ведливой и для бесконечных базисов (базисов Гамеля; см. п. 4.4) в
бесконечномерных линейных пространствах. Можно также ввести
понятие размерности бесконечномерного пространства (как мощно-
сти базиса Гамеля), но это будет уже не натуральное число, а так
называемое кардинальное число. (С иерархией бесконечных кардина-
лов можно познакомиться по учебникам теории множеств; см., на-
пример, Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. М.:
Изд-во МГУ, 1988.)

   5.4. Продолжение базисов. Всякая линейно независимая с.в.
является базисом в своей линейной оболочке. Ниже будут получены
результаты, касающиеся включения линейно независимой с.в. в ба-
зис (во всем пространстве), или же базиса в некотором подпростран-
стве — в базис в другом, более широком подпространстве. (В пособии
[A1 ] соответствующий материал сосредоточен в п. 10.4.)
  Предложение 5.5. Пусть V — линейное пространство размер-
ности n над полем P,

                        B = [ b1 , b2 , ... , bn ]           (5.5)
— произвольный базис этого пространства.
  1. Всякая линейно независимая с.в.

                        A = [ a1 , a2 , ... , as ]           (5.6)

в пространстве V может быть включена в некоторый базис

                        B0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ]       (5.50 )

этого пространства.
   2. Всякий базис в некотором линейном подпространстве W1 про-
странства V может быть включен в некоторый базис в любом под-
пространстве W2 , таком, что W1 6 W2 6 V.
  Доказательство. 1. Мы уже знаем (из предложения 5.4), что
мощность с.в. (5.6) не превосходит мощность базиса (5.5): s 6 n.
Но это, разумеется, не означает, что A содержится в B. Требуется

Страницы