Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 61 стр.

§5             Равномощность базисов. Размерность                    61

  5.3. Равномощность всех базисов и понятие размерно-
сти для к.л.п. Доказываемая ниже теорема 5.1 соответствует тео-
реме 11.1 в [A1 ].
  Теорема 5.1. Любые два базиса в к.л.п. имеют одинаковое ко-
личество векторов (равномощны).
  Доказательство совершенно тривиально (и не отличается от при-
веденного в [A1 ]). Пусть с.в. A в предложении 5.1, так же как и B,
является базисом. Тогда, в силу этого предложения, мы получаем
два неравенства: s 6 n и n 6 s. Вывод: s = n.

  Полученный результат служит обоснованием корректности следу-
ющего определения.
   Определение 5.1. Размерностью к.л.п. V называется количе-
ство векторов в некотором (и, следовательно, — в любом) базисе
этого пространства. Обозначение размерности: dim(V ).

  Мы пользуемся также более коротким выражением "мощность ба-
зиса". (Здесь есть определенная "вольность" в терминологии, по-
скольку, в строгом смысле, термин мощность должен применяться
к множествам, а мы говорим о списках. Но это безвредная воль-
ность, т. к. базисы являются списками без повторяющихся элемен-
тов.)
  Отметим, что размерность к.л.п. является неотрицательным це-
лым числом. В нуль она обращается лишь для тривиального (нуле-
вого) пространства.
  Легко получить значения размерности для некоторых изученных
ранее пространств.
   Пример 5.1. Линейные пространства, рассмотренные в приме-
ре 4.1, имеют следующие размерности:

      dim(P n ) = n; dim(Mat(m, n; P )) = mn; dim(Pn [x]) = n + 1.


     Простым следствием теоремы 5.1 является следующее
   Предложение 5.4. Пусть V — линейное пространство размер-
ности n над полем P. Всякая линейно независимая (порождающая)
с.в. в пространстве V содержит не более (не менее) n векторов. Если
она содержит в точности n векторов, то она является базисом.