Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 5 Равномощность базисов. Размерность 59
векторов системы A по базису B и произведем в правой части стан-
дартные преобразования над двойными суммами:
— перемену порядка суммирования;
— внесение постоянного скалярного множителя под знак суммы;
— вынесение постоянного векторного множителя из-под знака
суммы (вправо);
— перестановку скалярных множителей под знаком суммы.
Получим следующую цепочку равенств:
k
X
j=1
λ
j
a
j
=
s
X
j=1
λ
j
Ã
n
X
i=1
a
ij
b
i
!
=
s
X
j=1
Ã
n
X
i=1
λ
j
a
ij
b
i
!
=
=
n
X
i=1
s
X
j=1
λ
j
a
ij
b
i
=
n
X
i=1
s
X
j=1
λ
j
a
ij
b
i
=
=
n
X
i=1
s
X
j=1
a
ij
λ
j
b
i
=
n
X
i=1
[A · λ ]
i
b
i
,
где на последнем шаге введены обозначения A — для (n×s)-матрицы,
составленной из коэффициентов a
ij
разложений (5.2) и λ — для
вектора-столбца размера s × 1, составленного из неизвестных ска-
ляров λ
j
, после чего использовано правило умножения матриц.
В результате преобразований соотношение (5.1) приобретает рав-
носильный вид:
n
X
i=1
[A · λ ]
i
b
i
= 0. (5.3)
Равенство (5.3) в свою очередь равносильно (в силу линейной
независимости с.в. B) системе скалярных соотношений [A · λ ]
i
= 0
(i = 1, ..., n), или, в матричной записи, — системе линейных уравне-
ний
A
n×s
· λ
s×1
= 0
n×1
. (5.4)
В однородной с.л.у. (5.4) неизвестных больше, чем уравнений
(s > n). Поэтому она имеет (см. [A
1
, предложение 6.1]) нетриви-
альное решение λ 6= 0. Значит, найдутся скаляры λ
j
, не все равные
нулю, удовлетворяющие (5.1). ¤
Предложение 5.1 можно переформулировать так, чтобы оно от-
носилось к линейно независимым с.в.: в к.л.п. количество векторов
§5            Равномощность базисов. Размерность                            59

векторов системы A по базису B и произведем в правой части стан-
дартные преобразования над двойными суммами:
  — перемену порядка суммирования;
  — внесение постоянного скалярного множителя под знак суммы;
  — вынесение постоянного векторного множителя из-под знака
суммы (вправо);
  — перестановку скалярных множителей под знаком суммы.
  Получим следующую цепочку равенств:
         k         s
                        Ã n       !   s
                                        Ã n           !
        X          X     X           X    X
           λj aj =   λj     aij bi =         λj aij bi =
        j=1          j=1         i=1                 j=1     i=1
                                                 
                   n
                   X X s               n
                                       X X s
                 =      λj aij bi  =      λj aij  bi =
                     i=1       j=1                   i=1      j=1
                                         
                     n
                     X         s
                               X                     n
                                                     X
                 =                  aij λj  bi =         [A · λ ]i bi ,
                     i=1       j=1                   i=1


где на последнем шаге введены обозначения A — для (n×s)-матрицы,
составленной из коэффициентов aij разложений (5.2) и λ — для
вектора-столбца размера s × 1, составленного из неизвестных ска-
ляров λj , после чего использовано правило умножения матриц.
   В результате преобразований соотношение (5.1) приобретает рав-
носильный вид:
                          Xn
                             [A · λ ]i bi = 0.              (5.3)
                                i=1

   Равенство (5.3) в свою очередь равносильно (в силу линейной
независимости с.в. B) системе скалярных соотношений [A · λ ]i = 0
(i = 1, ..., n), или, в матричной записи, — системе линейных уравне-
ний
                              A · λ = 0 .                       (5.4)
                                n×s     s×1       n×1

   В однородной с.л.у. (5.4) неизвестных больше, чем уравнений
(s > n). Поэтому она имеет (см. [A1 , предложение 6.1]) нетриви-
альное решение λ 6= 0. Значит, найдутся скаляры λj , не все равные
нулю, удовлетворяющие (5.1). ¤
  Предложение 5.1 можно переформулировать так, чтобы оно от-
носилось к линейно независимым с.в.: в к.л.п. количество векторов

Страницы