Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

60 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
в (любой) линейно независимой с.в. не может превышать количе-
ства векторов в (любом) базисе этого пространства. (Именно этот
факт мы назвали в заголовке пункта оценкой количества векторов
в линейно независимой с.в.)
5.2. Характеризация к.л.п. в терминах линейно независи-
мых с.в. Конечномерность подпространств в к.л.п. Ограни-
чение сверху на мощность линейно независимых систем векторов в
конечномерном линейном пространстве, полученное в предыдущем
пункте, позволяет сформулировать в терминах таких с.в. критерий
(бес)конечномерности пространства и, заодно, доказать конечномер-
ность подпространств в к.л.п.
Предложение 5.2. Линейное пространство 1) конечномерно то-
гда и только тогда, когда в нем существует максимальная линейно
независимая с.в., и 2) бесконечномерно тогда и только тогда, когда
существует бесконечная строго возрастаюшая последовательность
линейно независмых с.в.
Доказательство. Первое утверждение очевидно, благодаря тео-
реме 4.1. Из него следует, что пространство является бесконечномер-
ным, тогда и только тогда, когда в нем не существут максимальной
линейно независимой с.в., т. е. любая линейно независимая система
строго содержится в другой линейно независимой системе.
Линейно независимая с.в. имеется всегда (хотя бы пустая). Зна-
чит, если пространство бесконечномерно (и следовательно, среди ли-
нейно независимых с.в. нет максимальных), то мы можем начать
строго возрастающую последовательность таких систем, которая ни-
когда не закончится.
Если же пространство конечномерно, то всякая строго возрастаю-
щая последовательность линейно независимых с.в. оборвется на ко-
нечном шаге (в силу ограничения сверху на их мощность). ¤
Доказанный критерий (бес)конечномерности линейного простран-
ства влечет следующее
Предложение 5.3. Линейное подпространство в к.л.п. само яв-
ляется к.л.п.
Доказательство. Пусть V — к.л.п., а W является подпростран-
ством в V. Предположим, W бесконечномерно. Тогда в нем найдется
бесконечная строго возрастающая последовательность линейно неза-
висимых с.в. Она остается таковой же, будучи рассмотрена во всем
пространстве V, что приводит к противоречию. ¤
60     Линейные пространства. Базисы и размерности           Гл. 1

в (любой) линейно независимой с.в. не может превышать количе-
ства векторов в (любом) базисе этого пространства. (Именно этот
факт мы назвали в заголовке пункта оценкой количества векторов
в линейно независимой с.в.)
   5.2. Характеризация к.л.п. в терминах линейно независи-
мых с.в. Конечномерность подпространств в к.л.п. Ограни-
чение сверху на мощность линейно независимых систем векторов в
конечномерном линейном пространстве, полученное в предыдущем
пункте, позволяет сформулировать в терминах таких с.в. критерий
(бес)конечномерности пространства и, заодно, доказать конечномер-
ность подпространств в к.л.п.
  Предложение 5.2. Линейное пространство 1) конечномерно то-
гда и только тогда, когда в нем существует максимальная линейно
независимая с.в., и 2) бесконечномерно тогда и только тогда, когда
существует бесконечная строго возрастаюшая последовательность
линейно независмых с.в.
  Доказательство. Первое утверждение очевидно, благодаря тео-
реме 4.1. Из него следует, что пространство является бесконечномер-
ным, тогда и только тогда, когда в нем не существут максимальной
линейно независимой с.в., т. е. любая линейно независимая система
строго содержится в другой линейно независимой системе.
  Линейно независимая с.в. имеется всегда (хотя бы пустая). Зна-
чит, если пространство бесконечномерно (и следовательно, среди ли-
нейно независимых с.в. нет максимальных), то мы можем начать
строго возрастающую последовательность таких систем, которая ни-
когда не закончится.
  Если же пространство конечномерно, то всякая строго возрастаю-
щая последовательность линейно независимых с.в. оборвется на ко-
нечном шаге (в силу ограничения сверху на их мощность). ¤
   Доказанный критерий (бес)конечномерности линейного простран-
ства влечет следующее
  Предложение 5.3. Линейное подпространство в к.л.п. само яв-
ляется к.л.п.
   Доказательство. Пусть V — к.л.п., а W является подпростран-
ством в V. Предположим, W бесконечномерно. Тогда в нем найдется
бесконечная строго возрастающая последовательность линейно неза-
висимых с.в. Она остается таковой же, будучи рассмотрена во всем
пространстве V, что приводит к противоречию. ¤

Страницы