Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

58 Линейные пространства. Базисы и размерности Гл. 1
В данном примере роль функций f
n
(x), приближающих данную
функцию f(x), играют частичные суммы ряда (4.5):
f
n
(x) = a
0
+
n
X
k=1
a
k
cos kx + b
k
sin kx. (4.7)
Слагаемые, фигурирующие в бесконечной сумме (4.5) и конечных
частичных суммах (4.7), принято называть гармониками, а работу
по их вычислению — гармоническим анализом.
§
§
§ 5. Равномощность базисов.
Размерность линейного пространства.
Продолжение базисов
5.1. Оценка количества векторов в линейно независимой
с.в. Данный параграф соотносится с § 11 (и частично — с § 10)
пособия [A
1
]. Разумеется, было бы желательным расположить пер-
вое пособие рядом со вторым и сравнить ход рассуждений. Логика
развития темы в абстрактной ситуации будет отличаться от той, ко-
торая была реализована в конкретном случае арифметических про-
странств. Хотя некоторые доказательства повторяются практически
один к одному. Так, предложение 5.1 является почти дословной ва-
риацией предложения 11.1 из [A
1
]. Можно было бы (как это уже
делалось в предыдущих параграфах) перепоручить читателям мо-
дификацию доказательства. Но мы все-таки повторим рассуждение
(в более сжатом виде).
Предложение 5.1. Пусть в к.л.п. V над полем P заданы некото-
рый базис B = [ b
1
, b
2
, ... , b
n
] и с.в. A = [ a
1
, a
2
, ... , a
s
], причем s > n.
Тогда с.в. A линейно зависима.
Доказательство. Требуется установить, что существует линей-
ное соотношение между векторами системы A вида
s
X
j=1
λ
j
a
j
= 0, (5.1)
где не все коэффициеты λ
j
∈ P равны нулю. Подставим в формулу
(5.1) разложения
a
j
=
n
X
i=1
a
ij
b
i
; j = 1, ..., s (5.2)
58       Линейные пространства. Базисы и размерности                         Гл. 1

  В данном примере роль функций fn (x), приближающих данную
функцию f (x), играют частичные суммы ряда (4.5):
                             n
                             X
               fn (x) = a0 +   ak cos kx + bk sin kx.   (4.7)
                                    k=1
  Слагаемые, фигурирующие в бесконечной сумме (4.5) и конечных
частичных суммах (4.7), принято называть гармониками, а работу
по их вычислению — гармоническим анализом.



                  § 5. Равномощность базисов.
          Размерность линейного пространства.
                 Продолжение базисов
   5.1. Оценка количества векторов в линейно независимой
с.в. Данный параграф соотносится с § 11 (и частично — с § 10)
пособия [A1 ]. Разумеется, было бы желательным расположить пер-
вое пособие рядом со вторым и сравнить ход рассуждений. Логика
развития темы в абстрактной ситуации будет отличаться от той, ко-
торая была реализована в конкретном случае арифметических про-
странств. Хотя некоторые доказательства повторяются практически
один к одному. Так, предложение 5.1 является почти дословной ва-
риацией предложения 11.1 из [A1 ]. Можно было бы (как это уже
делалось в предыдущих параграфах) перепоручить читателям мо-
дификацию доказательства. Но мы все-таки повторим рассуждение
(в более сжатом виде).

  Предложение 5.1. Пусть в к.л.п. V над полем P заданы некото-
рый базис B = [ b1 , b2 , ... , bn ] и с.в. A = [ a1 , a2 , ... , as ], причем s > n.
Тогда с.в. A линейно зависима.
  Доказательство. Требуется установить, что существует линей-
ное соотношение между векторами системы A вида
                        Xs
                            λj aj = 0,                   (5.1)
                                  j=1

где не все коэффициеты λj ∈ P равны нулю. Подставим в формулу
(5.1) разложения
                         Xn
                    aj =    aij bi ; j = 1, ..., s       (5.2)
                                 i=1

Страницы