Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИвГУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

§
§
§ 4 Базисы в линейных пространствах 57
из поля P ) определяется как предел (конечных) частичных сумм:
a =
∞
X
i=1
λ
k
b
k
= lim
n→∞
n
X
i=1
λ
k
b
k
, (4.4)
в предположении, что этот предел существует. Бесконечные сум-
мы обычно именуют рядами и в случае существования предела в
(4.4) говорят, что соответствующий ряд сходится, элемент a ∈ V
называется суммой ряда. Говорят также о разложении элемента a в
(сходящийся) ряд по множеству векторов (4.3).
Множество (4.3) называется топологическим базисом в простран-
стве V, если любой элемент a ∈ V разлагается в сходящийся ряд по
этому множеству, с некоторыми (причем однозначно определенны-
ми) коэффициентами λ
k
.
Пример 4.3. В упоминавшемся уже (см. примеры 3.2 и 3.3) ана-
лизе Фурье рассматривается линейное пространство V = L
2
[−π, π]
действительных функций f(x), заданных на отрезке [−π, π] и инте-
грируемых с квадратом по этому отрезку (т. е. таких, что существует
интеграл
R
π
−π
f
2
(x)dx ).
Сходимость последовательности функций f
n
(x)
V
→ f(x) также
определяется с помощью интегралов: должна стремиться к нулю по-
следовательность действительных чисел
R
π
−π
(f
n
(x)−f(x))
2
dx. (Неко-
торые, довольно существенные, детали в нашем рассказе, разумеет-
ся, опущены. Интеграл от квадрата разности двух функций, фигу-
рирующий выше, интерпретируется как квадрат расстояния между
ними.)
Множество тригонометрических функций T [см. (3.13)] оказыва-
ется топологическим базисом в пространстве V, т. е. всякая функция
из этого пространства однозначно разлагается в сходящийся ряд Фу-
рье:
f(x) = a
0
+
∞
X
k =1
a
k
cos kx + b
k
sin kx, (4.5)
где коэффициенты a
0
и a
k
, b
k
(k = 1, 2, ...) однозначно определяются
формулами
a
0
=
1
√
2π
Z
π
−π
f(x)dx; a
k
=
1
√
π
Z
π
−π
f(x) cos kx dx;
b
k
=
1
√
π
Z
π
−π
f(x) sin kx dx. (4.6)
§4              Базисы в линейных пространствах                      57

из поля P ) определяется как предел (конечных) частичных сумм:
                          ∞
                          X                   n
                                              X
                     a=         λk bk = lim         λk bk ,         (4.4)
                                       n→∞
                          i=1                 i=1

в предположении, что этот предел существует. Бесконечные сум-
мы обычно именуют рядами и в случае существования предела в
(4.4) говорят, что соответствующий ряд сходится, элемент a ∈ V
называется суммой ряда. Говорят также о разложении элемента a в
(сходящийся) ряд по множеству векторов (4.3).
   Множество (4.3) называется топологическим базисом в простран-
стве V, если любой элемент a ∈ V разлагается в сходящийся ряд по
этому множеству, с некоторыми (причем однозначно определенны-
ми) коэффициентами λk .
  Пример 4.3. В упоминавшемся уже (см. примеры 3.2 и 3.3) ана-
лизе Фурье рассматривается линейное пространство V = L2 [−π, π]
действительных функций f (x), заданных на отрезке [−π, π] и инте-
грируемыхR πс квадратом по этому отрезку (т. е. таких, что существует
                2
интеграл −π f (x)dx ).
                                                              V
   Сходимость последовательности функций fn (x) → f (x) также
определяется с помощью интегралов: должна
                                        R π стремиться2к нулю по-
следовательность действительных чисел −π (fn (x)−f (x)) dx. (Неко-
торые, довольно существенные, детали в нашем рассказе, разумеет-
ся, опущены. Интеграл от квадрата разности двух функций, фигу-
рирующий выше, интерпретируется как квадрат расстояния между
ними.)
   Множество тригонометрических функций T [см. (3.13)] оказыва-
ется топологическим базисом в пространстве V, т. е. всякая функция
из этого пространства однозначно разлагается в сходящийся ряд Фу-
рье:
                             ∞
                             X
                f (x) = a0 +   ak cos kx + bk sin kx,         (4.5)
                                 k=1

где коэффициенты a0 и ak , bk (k = 1, 2, ...) однозначно определяются
формулами
           Z π                    Z π
        1                      1
  a0 = √       f (x)dx; ak = √         f (x) cos kx dx;
         2π −π                  π −π
                                               Z π
                                            1
                                   bk = √          f (x) sin kx dx. (4.6)
                                             π −π

Страницы