Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы. Яцкин Н.И. - 55 стр.

§4              Базисы в линейных пространствах                   55

   Замечание 4.2. Теорема существования базиса (в частном случае,
когда V является линейным подпространством в арифметическом
линейном пространстве P n ) должна быть знакома вам по пособию
[A1 ] (см. теорему 10.1). Однако доказательное рассуждение в "ста-
ром" варианте теоремы было совершенно другим. Мы начинали с
линейно независимой с.в. (может быть, пустой) в подпространстве V
и добавляли к ней векторы, пока она не превращалась в базис. Га-
рантией останова было ограничение (числом n) мощности линейно
независимой с.в. Базис получался как максимальная линейно неза-
висимая с.в.
   В "новой", абстрактной ситуции такого ограничения у нас пока не
было. Доказательство опиралось на факт существования конечной
порождающей с.в., и был организован противоположный по направ-
лению процесс: удаление из порождающей системы лишних векто-
ров. Благодаря теореме 4.1, мы достигаем аналогичного результа-
та — получаем базис как минимальную порождающую с.в.
   В следующем параграфе мы вернемся к вопросу о расширении
линейно независимых с.в. (в абстрактных к.л.п.), вплоть до дости-
жения базиса.
   4.4.∗ Алгебраические базисы в произвольных линейных
пространствах (базисы Гамеля). Рассмотрим произвольное (мо-
жет быть, бесконечномерное) линейное пространство V над полем P
и произвольное (может быть, бесконечное) подмножество B ⊆ V.
   Напомним (см. п. 2.2), что линейная оболочка hBi считается со-
стоящей из значений всевозможных конечных линейных комбинаций
векторов из B. Подмножество B является порождающим для V , ес-
ли hBi = V, т. е. если всякий вектор x ∈ V представляется в виде
конечной линейной комбинации векторов из B.
   Напомним также (см. п. 3.3), что подмножество B считается ли-
нейно независимым, если таковым является каждое его конечное
подмножество.
   Определение 4.1a. Подмножество B называется алгебраичес-
ким базисом (или базисом Гамеля) для линейного пространства V,
если оно порождает V и является линейно независимым.
  Пример 4.2. Пространство P0∞ бесконечных, но финитных по-
следовательностей элементов из P (см. [A1 , § 36]) обладает естествен-
ным базисом Гамеля, состоящим из бесконечных векторов-строк

                       ek t = ( 0, ... , 0, 1, 0, ... ),